高中数学解题思想方法(分类讨论思想方法)

九、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。Ⅰ、再现性题组：1.集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a1D.0a12.若a0且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。A.p＝qB.pqC.pqD.当a1时，pq；当0a1时，pq3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。4.若θ∈(0,π2)，则limn→∞cossincossinnnnnθθθ＋θ的值为_____。A.1或－1B.0或－1C.0或1D.0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。A.[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,+∞)D.[-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。A.893B.493C.293D.493或8937.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。A.3x－2y＝0B.x＋y－5＝0C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定Ⅱ、示范性题组：例1.设0x1，a0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。【解】∵0x1∴01－x1,1＋x1①当0a1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)0;②当a1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝…由①、②可知，…例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.CA∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C121·C82＋C122·C81＋C123·C80＝1084【另解】（排除法）：【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。例3.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和。①.证明：lglgSSnn22lgSn1；②.是否存在常数c0，使得lg()lg()ScScnn22＝lg（Sn1－c）成立？并证明结论。(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。【解】设公比q，则a10，q0①．…②.要使lg()lg()ScScnn22＝lg（Sn1－c）成立，则必有(Sn－c)(Sn2－c)＝(Sn1－c)2,分两种情况讨论如下：当q＝1时，Sn＝na1，则(Sn－c)(Sn2－c)－(Sn1－c)2＝(na1－c)[(n＋2)a1－c]－[(n＋1)a1－c]2＝－a120当q≠1时，Sn＝aqqn111()，则(Sn－c)(Sn2－c)－(Sn1－c)2＝[aqqn111()－c][aqqn1211()－c]－[aqqn1111()－c]2＝－a1qn[a1－c(1－q)]∵a1qn≠0∴a1－c(1－q)＝0即c＝aq11而Sn－c＝Sn－aq11＝－aqqn110∴对数式无意义由上综述，不存在常数c0,使得lg()lg()ScScnn22＝lg（Sn1－c）成立。【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明loglog..050522SSnnlog05.Sn1。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型）例4.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围。【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）【解】当a0时，f(x)＝a（x－1a）2＋2－1a∴111220afa≤＝≥()或1141210afaa()＝或14416820afa≥＝≥()∴a≥1或12a1或φ即a12；当a0时，fafa()()1220416820＝≥＝≥，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a12。例5.解不等式()()xaxaa46210(a为常数，a≠－12)14x14x【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a0、a＝0、－12a0、a－12分别加以讨论。【解】2a＋10时，a〉－12；－4a6a时，a0。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x＋4a)(x－6a)0，解得：x－4a或x6a；当a＝0时，x20，解得：x≠0；当－12a0时，(x＋4a)(x－6a)0，解得:x6a或x－4a；当a－12时，(x＋4a)(x－6a)0，解得：6ax－4a。综上所述，……【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）例6.设a≥0,在复数集C中，解方程：z2＋2|z|＝a。(90年全国高考)【解】∵z∈R，由z2＋2|z|＝a得：z2∈R；∴z为实数或纯虚数当z∈R时，|z|2＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋1a∴z＝±(－1＋1a)；当z为纯虚数时，设z＝±yｉ(y0)，∴－y2＋2y＝a解得：y＝1±1a（0≤a≤1）由上可得，z＝±(－1＋1a)或±(1±1a)ｉ【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。（简化型）【另解】设z＝x＋yｉ，代入得x2－y2＋2xy22＋2xyｉ＝a；∴xyxyaxy2222220当y＝0时，…例7.在xoy平面上给定曲线y2＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。（本题难度0.40）【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。【解】设M(x,y)为曲线y2＝2x上任意一点，则|MA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝x2－2(a－1)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)由于y2＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}2min＝2a－1；当a－10时，x＝0取最小值，即|MA}2min＝a2；综上所述，有f(a)＝21aa||()()aa≥时时11。Ⅲ、巩固性题组：1.若loga231，则a的取值范围是_____。A.(0,23)B.(23,1)C.(0,23)∪(1,+∞)D.(23,+∞)2.非零实数a、b、c，则aa||＋bb||＋cc||＋abcabc||的值组成的集合是_____。A.{-4,4}B.{0,4}C.{-4,0}D.{-4,0,4}3.f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。A.当x＝2a时有最小值0B.当x＝3a时有最大值0C.无最大值，且无最小值D.有最小值但无最大值4.设f1(x,y)＝0是椭圆方程，f2(x,y)＝0是直线方程，则方程f1(x,y)＋λf2(x,y)＝0（λ∈R）表示的曲线是_____。A.只能是椭圆B.椭圆或直线C.椭圆或一点D.还有上述外的其它情况5.函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。A.a＝1,b＝0B.a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3C.a＝－1，b＝3D.以上答案均不正确6.方程(x2－x－1)x2＝1的整数解的个数是_____。A.1B.3C.4D.57.到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。A.7B.6C.5D.48.z∈C，方程z2－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。A.2B.3C.4D.59.复数z＝a＋aｉ(a≠0)的辐角主值是______________。10.解关于x的不等式：2loga2(2x－1)loga(x2－a)(a0且a≠1)11.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为Sn，又设Tn＝SSnn1，求limn→∞Tn。12.若复数z、z2、z3在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z。13.有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14.函数f(x)＝(|m|－1)x2－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。