高中数学解题思想方法(数学归纳法)

五、数学归纳法数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。Ⅰ、再现性题组：1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·2…(2n－1)（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.211kkD.231kk2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121nn(n1)时，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。A.2k1B.2k－1C.2kD.2k＋13.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。(94年上海高考)A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立4.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是_____。A.3n－2B.n2C.3n1D.4n－35.用数学归纳法证明342n＋521n(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3412()k＋5211()k应变形为_______________________。6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。Ⅱ、示范性题组：例1.已知数列811322··，得，…，8212122··nnn()()，…。Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。（93年全国理）【解】计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，猜测Sn＝()()2112122nn(n∈N)当n＝1时，…【注】从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。（试值→猜想→证明）【另解】用裂项相消法求和：例2.设an＝12×＋23×＋…＋nn()1(n∈N),证明：12n(n＋1)an12(n＋1)2。【解】当n＝1时，an＝2，12n(n+1)＝12，12(n+1)2＝2，∴n＝1时不等式成立。假设当n＝k时不等式成立，即：12k(k＋1)ak12(k＋1)2，当n＝k＋1时，12k(k＋1)＋()()kk12ak112(k＋1)2＋()()kk12…【注】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。【另解】也可采用放缩法直接证明。（抓住对nn()1的分析，注意与目标比较）例3.设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝naan()12，证明{an}是等差数列。（94年全国文）【分析】要证等差数列，即证：an＝a1＋(n－1)d【解】设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d当n＝1时，an＝a1，∴当n＝1时猜测正确。假设当n＝k时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，ak1＝Sk1－Sk＝()()kaak1211－kaak()12，解得ak1＝……【注】注意问题转化成数学式及ak1的得出。【另解】可证an1－an＝an－an1而得：Ⅲ、巩固性题组：1.用数学归纳法证明：621n＋1(n∈N)能被7整除。2.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N)。3.n∈N，试比较2n与(n＋1)2的大小，并用证明你的结论。4.用数学归纳法证明等式：cosx2·cosx22·cosx23·…·cosxn2＝sinsinxxnn22·(81年全国高考)5.用数学归纳法证明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。（85年广东高考）6.数列{an}的通项公式an＝112()n(n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。7.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an1cosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a2和a3；②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。8.设f(logax)＝axxa()()2211,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。③.求证：f(n)n(n1且n∈N)