高中数学知识应用竞赛试题及参考答案

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高中数学知识应用竞赛试题及参考答案试题1、(满分20分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上,先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后,交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米,不足15米,B车的刹车距离超过11米,不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S(米)与车速x(千米/时)之间有如下关系:如果仅仅考虑汽车的车速因素,哪辆车应负责任?2.(满分20分)北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小晰蜴体长15cm,体重15g,问:当小晰蜴长到体长为20cm时,它的体重大约是多少(选择答案:20g,25g,35g,40g)?尝试用数学分析出合理的解答。3.(满分20分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深(米)时刻水深(米)时刻水深(米)0:005.08:003.116:007.41:006.29:002.517:006.92:007.110:002.418:005.93:007.511:003.519:004.44:007.312:004.420:003.35:006.513:005.621:002.56:005.314:006.722:002.77:004.115:007.223:003.8(1)请在坐标纸上,根据表中的数据,用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?4.(满分20分)2000年末,某商家迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾方式,即顾客在店内花钱满100元(这100元可以是现金,也可是奖励券,或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券,满300元,就送60元奖励券;...。当日,花钱最多的一顾客用现金70000元,如果按照酬宾方式,他最多能得到多少优惠呢?相当于商家打了几折销售?5.(满分20分)某城市准备举行书画展览,为了保证展品安全,展览的保卫部门准备安排保安员值班。情况如下:①展览大厅是长方形,内设均匀颁的m×n个长方形展区,如图所示(下图是一个3×4个展区的示意图)。在展厅中,展览的书画被挂在每个展区的外墙上,参观者在通道上浏览书画。②保安员站在固定的位置上,不允许转身,只能监视他的左右两侧和正前方,形如“T”形的区域。且一个保安员的正前方不安排其它保安员。③不考虑保安员的轮岗、换班问题。④展口的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内。问题:(1)对于如上图所示的展厅中,最少需要几个保安员能使展品安全?在图中标明保安员的位置(不要求证明)。(2)假如展要有n×m个展区,最少需要多少个保安员能使展品安全?请证明你的结论。竞赛参考答案1.解法一:由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式:1215,1112,分别求解这两个不等式,得3035,1245.可见,A车无责任,B车应付责任。解法二:如果==40km/h,则可以算得=20m,=10m。由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离=20m;而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离=10m。可见A车无责任,B车应付责任。2.解:假设小晰蜴从15cm长到20cm,体形是相似的。这时晰蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比。记体长为l的晰蜴的体重为,因此有合理的答案应该是35g。3.解:(1)描点作图,设x表示时间,y表示水深。(2)由题目条件,水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全。为此在上图中做一条y=5.5的水平直线a。图象在a止方时,其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段,从图中可以看出,这个时间段约为0:30到5:40分,或13:00到18:20(有10分钟左右的偏差可以算对),在港口停留的时间大约为5小时。也可以用线性插值方法,在已知点中,若相邻两点在直线a的异侧,设加在它们中间且过直线a的点与它们共线。于是利用点(0,5)和(1,6.2),得=(5.5-5)/(6.2-5)=0.417,对应的时间为0:25;利用点(5,6.5)和(6,5.3),得=5.83,对应的时间为5:50。由此得到第一个满足条件的时间段约为0:25-5:50。同理,利用点(12,4.4)和(13,5.6),得=12.92,对应的时间为12:55;利用点(18,5.9)和(19,4.4),得=18.27,对应的时间为18:16。由此得到第二个满足条件的时间段约为12:55-18:16。(3)2:00时水深为7.1米,船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为:y=5.5-0.3(x-2);其中2x5.83,此处利用了插值的结果。在上面的函数图象中画出该图象,看出与原图象的交点大约在7:00左右(有10分钟左右上午偏差可以算正确),故知在7:00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。注:此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插值,得y=-1.2x+12.5与y=5.5-0.(x-2),联立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值,得y=-x+11.1与y=5.5-0.3(x-2)联立可求得x=7,即7:00.这些做法与看图得到的结果一致。4.解:购物价值=所用人民币值+优惠值,将最多购物价值记作。按下列方法购物第一次用现金购物70000元,获得奖励券70000×12%=14000(元);第二次用现金购物14000元,获得奖励券14000×20%=2800(元);第三次用现金购物2800元,获得奖励券2800×20%=560(元);第四次用现金购物500元,获得奖励券500×20%=100(元);第五次用现金购物100元,获得奖励券100×20%=20(元);第六次用现金购物80元,获得奖励券80(60+20),获得奖励券0元。至此,现金及奖励券全部用完,共计购物(记作a)a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而=80。018%,近似于八折。下面证明=a.设分k次将70000花掉,第i次购物获得的奖励券为元,剩下的钱为元(不包括第i次获得的奖励券)。则0≤≤,并可依次得=(70000-)20%≤14000;=(7000-)20%+[(7000-)20%+-]20%=7000020%+70000--20%;=7000020%+70000-(20%)2-20%+{[70000-)20%+-]20%+-}20%=7000020%+70000+70000---20%;一般地=7000020%+70000+...+70000--···--20%,即70000[20%+++···+]17500。则总共购物价值为70000+70000+17500=87500.即=87480元。接近八折。5.解:(1)对如图所示的3×4个展区,至少要5个保安员才能保证展览的书画是安全的。保安员站位的方案有多种,其中一个如下图所示:(2)对n×m个展区,至少要m+n-2个保安员才能保证展览的书画是安全的。证明:我们把模型进行抽象,把n×m个展区抽象成一个n×m“格阵”,它有n+m+2条边(对应待监视的走廊),且用字母标记如下:由于保安员监视范围是“T”型区域,所以称保安员的位置对庆的“格隈”中的格点为“T形点。”这样,我们把一个实际问题转化为一个数学模型:在n×m“格阵”中至少取几个“T”形点能够用这些T形区域覆盖n×m“格阵”的全部n+m+2条边。首先,“T”型点放在n×m“格阵”的外边框的格点上才能发挥最大作用,覆盖两条边。否则,如果在中间某一格点处放一“T”形点P,那么这一“T”形点P的另一边的一部分,而另一部分还需要另外的“T”形点去覆盖,这样P“T”形点相当于只覆盖了一条边。此外,在n×m“格阵”的边界格点上,当有了一个“T”形点时,如果在此边界上再放入第二个,它所在的边界已不需要它覆盖,那么这个“T”形点相当于覆盖了一条边。由于n×m“格阵”只有4条边界,所以“T”形点多于4个时,其中4个覆盖两条边,其余的只相当于覆盖一条边。因为这“其余的”不是被放在中间的格点上,就是被放在已有一个“T”形点的边界上,n×m“格阵”共有m+n+2条边,所以至少需“T”形点(m+n+2)-4个,即m+n-2个。另外,也的确有如下的办法用m+n-2个“T”形点控制n×m“格阵”的m+n+2条边。在处放4个“T”形点,它们可以控制8条边。再在,这n-3个位置上放n-3个“T”形点,它们可以覆盖不同于前面的n-3条横向边。再在,这n-3个位置上放m-3个“T”形点,它们可以覆盖不同于前面的m-3条纵向边。总计覆盖了8+(n-3)+(m-3)条不同的的边,也就是整个n×m“格阵”。

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