国家命题研究中心高考数学信息题(密卷)

国家命题研究中心2005年高考数学信息题（密卷）说明：题目顺序有意打乱不要随意发布。仅作参考用。请在下载24小时内删除。违者责任自负。谢谢合作一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.直线7830xy的倾斜角是（C）A.7arctan8B.7arctan()8C.7arctan8D.7arctan8答：斜率为708k，倾斜角为钝角.2.62.998的近似值（精确到小数后第三位）为（A）A.726.089B.724.089C.726.098D.726.908答：66615242662.998(30.002)330.00230.0027292.9160.00486726.089CC3.在ABC中.若2220bcbca，则A（C）A.030B.060C.0120D.0150答：22201cos,12022bcaAAbc4.设E为平面上以(4,1),(1,6),(3,2)ABC为顶点的三角形区域(包括边界),则43zxy的最大值和最小值分别为（A）A.14,-18B.-14,-18C.18,14D.18,-14答：画出示意图，易知：当动直线过B时，z取最大值；当动直线过C时，z取最小值.5.给定集合AB、，定义{|,,}ABxxmnmAnB※.若{4,5,6},{1,2,3}AB，则集合AB※中的所有元素之和为（A）A.15B.14C.27D.-14答A※B={3，2，1，4，5}，元素和为15．6．已知函数2sin1()log(65)fxxx在(,)a上是减函数，则实数a的取值范围为（D）A.（5，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，3）D.[5,)答定义域为(,1)(5,)．而函数265xx在3x时为增函数，故()fx的单调减区间为(5,)，从而5a．7．设函数()sin,[,]22fxxxx，若12()()fxfx，则下列不等式必定成立的是（B）A．120xxB．2212xxC．12xxD．12xx答易知()(||)fxfx，且当x∈π[0,]2x时，(||)fx为增函数．又由12()()fxfx，得12(||)(||)fxfx，故12||||xx|，于是2212xx．8．已知等比数列{}na的首项为8，nS是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（C）A．S1B．S2C．S3D．S4答显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，故S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，3292q，显然S3=36≠8(1+q+q2)，矛盾．故只可能是S3算错了，此时由a2=12得32q，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．9．函数()yfx的图象如图所示，则导函数()yfx的图象大致是（D）答由()fx的图象及()fx的意义知，在x＞0时，()fx为单调递增函数且()fx＜0；在x＜0时，()fx为单调递减函数且()fx＜0．10．我们把离心率为黄金比512的椭圆称为“优美椭圆”．设22221yxab(a＞b＞0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（C）A．60°B．75°C．90°D．120°答依题意，512ca，2222225151()22bacaaaac，故△ABF为直角三角形且∠ABF为直角，答案选C．11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=-x2，值域为{-1，-9}的“同族函数”共有（C）A．7个B．8个C．9个D．10个答定义域中可能有的元素为1，-1，3，-3，而且在1与-1，3与-3中各至少有一个在定义域内．当定义域中只有2个元素时，可有{1，3}，{1，-3}与{-1，3}，{-1，-3}，共4种可能；当定义域中含有3个元素时，可能34C=4种可能；当定义域中含有4个元素时，只有1种可能．4+4+1=9．12．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足0ABAC，0ACAD，0ADAB，则ABCSACDADBSS的最大值为（S为三角形的面积）（C）A．8B．16C．32D．64答易知AB，AC，AD两两互相垂直，进而AB2+AC2+AD2=(2r)2=64．S△ABC+S△ACD+S△ADB=111222ABACACADADABxyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)()fx()fx()fx()fx≤222222444ABACACADADAB=222322ABACAD．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13、某人要买房，若要第n层楼，则因上下楼造成的不满意度为n，但随楼层升高，环境的不满意度降低。设要第n层楼时，环境的不满意度为n9，则此人应选第___6___层楼.14、已知2x4y2x0yx，则2y2x2yx22的最小值为_____2____15．nS为等差数列{}na的前n项和，若24121nnanan，则2nnSS=4．答由24121nnanan，即4121nnandnan，得121,22nndada．21()22nnnaandS，22(2)42nnndSS．故2nnSS=4．16．若1,1xy，且lglg10,10xyxyxy，则xy的值是11．答由lglgxyxy≥10，得lg(lglgxyxy)≥lg10=1，即(lgx)2+(lgy)2≥1=(lgx+lgy)2，于是2lgxlgy≤0，从而lgx与lgy中必有一个为0，即x与y中必有一个为1，因而另一个为10．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）17．（本小题满分12分）已知1sinsin2xy，3coscos3xy．（1）求cos()xy的值；（2）求sin2xy的值．解（1）将已知两式平方相加得722cos()12xy，故17cos()24xy．………7分（2）∵2cos()12sin2xyxy，………………………………………………9分∴241sin248xy．∴123sin212xy．…………………………………………12分18．（本小题满分12分）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85．…………………………………2分(1))()()()(CPBPAPCBAP=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．……………………………………7分(2)P(CBACBACBA)=P()()()ABCPABCPABC=)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．…………………………………12分19．（本小题满分12分）如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（Ⅰ）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（Ⅱ）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（Ⅲ）求DH的长；（Ⅳ）求截面EFGH与底面ABCD所成锐角的余弦值．解（Ⅰ）如图，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连PQ得直线l，它便是所求作．………………3分（Ⅱ）截面EFGH为菱形．因平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH．同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形．又EF2=AB2+(BF-AE)2=25，FG2=BC2+(CG-BF)2=25，于是EF=FG=5，故四边形EFGH为菱形．…………………………6分（Ⅲ）由AE+CG=BF+DH，得DH=9．…………8分（Ⅳ）FH2=BD2+(DH-BF)2=26，EG2=AC2+(CG-AE)2=74，故菱形EFGH的面积为ABCDEFGH第19题图ABCDEFGH第19题答图lPQSEFGH=74262121FHEG．又SABCD=12ABBC，由面积射影定理得，所求锐角的余弦为121248148126742ABCDEFGHSS．…………………12分20．（本小题满分12分）P是以12FF、为焦点的双曲线C：22221xyab（a＞0，b＞0）上的一点，已知120PFPF，12||2||PFPF．（1）试求双曲线的离心率e；（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当12274OPOP，122PPPP=0，求双曲线的方程．解（1）∵12||2||PFPF，12||||2PFPFa，∴1||4PFa，2||2PFa．∵12PFPF=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴5cea．………………………………4分（2）由（1）知，双曲线的方程可设为222214xyaa，渐近线方程为2yx．…5分设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．∵12122734OPOPxx，∴1294xx．∵1220PPPP，∴12122,32(2).3xxxxxy………8分∵点P在双曲线上，∴22121222(2)(2)199xxxxaa．化简得，21298axx．∴29984a．∴22a．∴双曲线的方程为22128xy．………12分21．（本小题满分12分）等比数列{}na的首项为12002a，公比12q．（1）设()fn表示该数列的前n项的积，求()fn的表达式；（2）当n取何值时，()fn有最大值．解（1）112002()2nna，(1)21()2002()2nnnfn．………………………………4分（2）∵|(1)|2002|()|2nfnfn，∴当n≤10时，|(1)|2002|()|2nfnfn＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|；……………6分当n≥11时，|(1)|2002|()|2nfnfn＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞…．………………………8分∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0ffff，∴()fn的最大值为(9)f或(12)f中的最大者．10分∵126633031093612002()(12)1200222002()()11(9)222002()2ff，∴当n=12时，()fn有最大值为12661(12)2002()2f．……………………………12分22．（本小题满分14分）设()fx是定义在[-1，1]上的偶函数，()gx的图象与()fx的图象关于直线1x对称，且当x∈[2，3]时，3()2(2)4(2)gxaxx．（1）求()