上海市高考数学最新测试卷

2005年上海市高考数学最新测试卷(七校联考：华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北)一、填空题（4′×12）1．函数))((Rxxfy图象恒过定点)1,0(，若)(xfy存在反函数)(1xfy，则1)(1xfy的图象必过定点1,1。2．已知集合RxyyAx,12，集合RxxxyyB,322，则集合BxAxx且,2。3．若角终边落在射线)0(043xyx上，则)22arccos(tan71。4．关于x的方程)(01)2(2Rmmixix有一实根为n，则nim1i2121。5．数列na的首项为21a，且))((21211Nnaaaann，记nS为数列na前n项和，则nS1232n。6．新教材同学做：若yx,满足1315yxyxyxyx，则目标函数yxs23取最大值时x4。老教材同学做：若)(13Nnxxn的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第5项。7．已知函数)20,0)(2sin()(AxAxf，若对任意Rx有)125()(fxf成立，则方程0)(xf在,0上的解为326or。8．新教材同学做：某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵6078929083768588,75809095321，XXX表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵X可用321，X，XX表示为3213.04.03.0XXXX。老教材同学做：某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为9125。（结果用分数表示）9．将最小正周期为2的函数)2,0)(sin()cos()(xxxg的图象向左平移4个单位，得到偶函数图象，则满足题意的的一个可能值为4。10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。年龄（岁）3035404550556065……收缩压（水银柱/毫米）110115120125130135（140）145……舒张压（水银柱/毫米）70737578807385（88）……11．若函数xxxf241log,log3min)(，其中qp,min表示qp,两者中的较小者，则2)(xf的解为404xorX。12．如图，1P是一块半径为1的半圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形,,,,43nPPP，记纸板nP的面积为nS，则nnSlim3。二、选择题（4′×4）13．已知cba,,满足0acabc且，则下列选项中不一定能成立的是（C）A、acabB、0)(abcC、22cacbD、0)(caac14．下列命题正确的是（C）A、若Aannlim，Bbnnlim，则)0(limnnnnbBAba。B、函数)11(arccosxxy的反函数为Rxxy,cos。C、函数)(12Nmxymm为奇函数。D、函数21)32(sin)(2xxxf，当2004x时，21)(xf恒成立。15．函数11)(2xxaxf为奇函数的充要条件是（B）A、10aB、10aC、1aD、1a16．不等式)10(2sinlogaaxxa且对任意)4,0(x都成立，则a的取值范围为（B）A、)4,0(B、)1,4(C、)2,1()1,4(D、)1,0(三、解答题：17．（本题满分12分）新教材同学做：在ABC中，角CBA,,所对边分别为cba,,，已知,2,32caCsinBsin00bc2=0，求ABC的面积S。Acos01解：计算行列式的值，得0sincos2sinBAcCb，由正弦定理，得0sinsincos2sinsinCBACB即21cosA，∴60A，再由CcAasinsin，得213260sin2sinC，∴30C∴ABC是直角三角形，∴3221acS。老教材同学做：在ABC中，角CBA,,所对边分别为cba,,，已知,2,32cabctgBtgA21，求ABC的面积S。解：由bctgBtgA21及正弦定理，得BCBBBABAsinsin2cossincoscossin，即21cosA，（其余同上）18．（本题满分12分）设复数)0,,(1yRyxyixz，复数)(sincos2Riz，且1121,2zRzz在复平面上所对应点在直线xy上，求21zz的取值范围。解：11121ImRe2zzRzz022222yxRyixxyiyx0022yxyxy1yxiz1121zz4sin223sin1cos122∴21zz12,1219．（本题满分14分）已知关于x的不等式052axax的解集为M。（1）当4a时，求集合M；（2）若MM53且，求实数a的取值范围。解：（1）4a时，不等式为04542xx，解之，得2,452,M（2）25a时，MM53025550953aaaa251359aoraa25,935,1a25a时，不等式为0255252xx，解之，得5,515,M，则MM53且，∴25a满足条件综上，得25,935,1a。20．（本题满分14分）如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数nm,时，输出结果记为),(nmf，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则1)1,1(f；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。试求：（1）)1,(mf的表达式)(Nm；（2）),(nmf的表达式),(Nnm；（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n，则输出结果),(nnf能否为2005？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。解：（1）11231,131,231,131,mmfmfmfmf（2）133131,232,31,,1nnmfnmfnmfnmfm（3）133,1nnnfn，∵20057471837,76f，200522082138,87f∴),(nnf输出结果不可能为2005。21．（本题满分16分）对数列na，规定na为数列na的一阶差分数列，其中)(1Nnaaannn。对自然数k，规定nka为na的k阶差分数列，其中)(1111nknknknkaaaa。（1）已知数列na的通项公式),(2Nnnnan，试判断na，na2是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列na首项11a，且满足)(212Nnaaannnn，求数列na的通项公式。（3）对（2）中数列na，是否存在等差数列nb，使得nnnnnnaCbCbCb2211对一切自然Nn都成立？若存在，求数列nb的通项公式；若不存在，则请说明理由。解：（1）2211221nnnnnaaannn，∴na是首项为4，公差为2的等差数列。2222122nnan∴na2是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（2）nnnnaaa212，即nnnnnaaaa211，即nnnaa2，∴nnnaa221∵11a，∴12224a，232312a，342432a，猜想：12nnna证明：ⅰ）当1n时，01211a；ⅱ）假设kn时，12kkka1kn时，111212222kkkkkkkkaa结论也成立∴由ⅰ）、ⅱ）可知，12nnna（3）nnnnnnaCbCbCb2211，即122112nnnnnnnCbCbCb∵1112111013212321nnnnnnnnnnnnCCCCnnCCCC∴存在等差数列nb，nbn，使得nnnnnnaCbCbCb2211对一切自然Nn都成立。22．（本题满分18分）已知函数)(xf是定义在2,2上的奇函数，当)0,2[x时，321)(xtxxf（t为常数）。（1）求函数)(xf的解析式；（2）当]6,2[t时，求)(xf在0,2上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想)(xf在2,0上的单调递增区间（不必证明）；（3）当9t时，证明：函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。解：（1）2,0x时，0,2x，则3321)(21)()(xtxxxtxf∵函数)(xf是定义在2,2上的奇函数，即xfxf∴321xtxxf，即321)(xtxxf，又可知00f∴函数)(xf的解析式为321)(xtxxf，2,2x（2）221xtxxf，∵]6,2[t，0,2x，∴0212xt∵2783212121332222222txtxtxxtxxf∴2221xtx，即36,322txtx)0,236(t时，ttf962min。猜想)(xf在2,0上的单调递增区间为36,0t。（3）9t时，任取2221xx，∵0212221212121xxxxtxxxfxf∴xf在2,2上单调递增，即2,2ffxf，即42,24ttxf∵9t，∴1442,1424tt，∴42,2414tt∴当9t时，函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。