高考数学第八章第2讲

第2讲两直线的位置关系第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行____________k1与k2都不存在垂直____________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.两条直线的交点栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0A解析：由题意知，直线l的斜率是－32，因此直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．(必修2P109练习题改编)已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B.2C.3D．2B解析：l1与l2之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2＝|1－（－1）|2＝2，故选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．(必修2P109习题3.3A组T2(1)改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是()A．－3B．2C．－3或2D．3或－2A解析：由直线l1与l2平行，可得a（a＋1）＝2×3，a×1≠2，解得a＝－3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．5．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________．231栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一两条直线平行与垂直(1)(2016·邢台摸底考试)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为_________________________．C4x＋3y－6＝0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)依题意，注意到直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是－a3＝－1a－2，1a－2≠1，解得a＝－1，故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)法一：由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－43，所以直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何将本例(2)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程．解：法一：由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝34，所以直线l的方程为y－2＝34x，即3x－4y＋8＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝27，所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.又因为直线l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在．所以ab＝1－a.①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.②联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二距离公式(高频考点)距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)已知距离求点的坐标．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是___________．(2)(经典考题)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝____________．2或－694栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以c2＋132＋（－2）2＝21313，因此c＝2或－6.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)曲线C2是圆心为(0，－4)，半径r＝2的圆，圆心到直线l：y＝x的距离d1＝|0＋4|2＝22，所以曲线C2到直线l的距离为d1－r＝2.设曲线C1上的点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离最短为d，则过(x0，y0)的切线平行于直线y＝x.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何已知函数y＝x2＋a，则y′|x＝x0＝2x0＝1，即x0＝12，y0＝14＋a，点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离d＝12－14＋a2＝14－a2，由题意知14－a2＝2，所以a＝－74或a＝94.当a＝－74时，直线l与曲线C1相交，不合题意，故舍去．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.(1)平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为_________________________________．(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝|－2－c|32＋42＝1，所以c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.故填3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)设点P的坐标为(a，b)．因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.因为点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，所以a－b－5＝0.①栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，所以|4a＋3b－2|5＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立可得a＝1，b＝－4或a＝277，b＝－87.所以所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.栏目导引知能训