高考数学第八章第8讲

第8讲曲线与方程第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_______________；(2)以这个方程的解为坐标的点都在___________．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．这个方程的解曲线上栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1（x，y）＝0，F2（x，y）＝0的________，若此方程组无解，则两曲线无交点．实数解栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明两个易误点(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是()A．(－1，2)B．(1，－2)C．(2，－3)D．(3，6)A栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支C栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0D解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．(选修2­1P37练习T2改编)已知方程ax2＋by2＝2的曲线经过点A0，53和B(1，1)，则曲线方程为_____________．1625x2＋925y2＝1栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何5．平面上有三个不同点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________________．y2＝8x(x≠0)解析：AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，由AB→⊥BC→，得AB→·BC→＝0，即2x＋－y2·y2＝0，所以动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：(1)明确给出等式，求轨迹方程；(2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x，2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.(1)(2016·益阳调研)已知M92，0，N(2，0)，曲线C上的任意一点P满足MN→·MP→＝154|PN→|，则曲线C的方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13.求动点P的轨迹方程．1栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解：(1)MN→＝－52，0，设点P(x，y)，则MP→＝x－92，y，PN→＝(2－x，－y)．代入MN→·MP→＝154|PN→|，化简得x29＋y25＝1.所以曲线C的方程为x29＋y25＝1.故填x29＋y25＝1.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称．所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二定义法求轨迹方程已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足|PB→|，12|PA→|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为______________．x216－y29＝1(x≥4)[解析]由已知得|PA→|－|PB→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≥4)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何若将本例中的条件“|PB→|，12|PA→|，8”改为“|PA→|，12|PB→|，8”，求点P的轨迹方程．解：由已知得|PB→|－|PA→|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为x216－y29＝1(x≤－4)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点三利用相关点法(代入法)求轨迹方程(2016·石家庄一模)已知点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆D栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析]因为点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)，所以Q是线段PF1的中点．设P(x1，y1)，由于F1为椭圆C：x216＋y210＝1的左焦点，则F1(－6，0)，故Qx1－62，y12，由点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，则点P的轨迹方程为（x1－6）264＋y2140＝1，故点P的轨迹为椭圆．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何相关点法求轨迹方程的一般步骤(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)．(2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式x1＝f（x，y），y1＝g（x，y）.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3.设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y20＝0.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何由MN→＝2MP→得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，所以－x＋y24＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放