数学奥林匹克高中训练题(05)及答案

数学奥林匹克高中训练题（05）第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．(训练题10),为锐角，且coscos,,()()()2sinsinxxxRfx，则（D）．(A)()fx在定义域内是增函数(B)()fx在[0,)内为增函数，在(,0]内为减函数(C)()fx在定义域内是减函数(D)()fx在(,0]内为增函数，在[0,)内为减函数2．(训练题10)设,ad为非负实数，,bc为正实数，且bcad．则bccdab的最小值是（C）(A)1(B)12(C)122(D)23．(训练题10)设222522333333363322220,(),(),()abAabBabCaab．则,,ABC的大小关系是（D）(A)ABC(B)BCA(C)CAB(D)ACB4．(训练题10)三棱锥ABCD中，60,1,2,3oBACCADDABABACAD，则三棱锥体积是（A）(A)22(B)33(C)63(D)其他5．(训练题10)八个数字1，1，2，2，3，3，4，4可以组成不同的四位数个数是（A）(A)204(B)144(C)72(D)246．(训练题10)方程21112()yxyy的整数解(,)xy有（B）(A)0组(B)1组(C)有限组(多于1组)(D)无穷多组二、填空题（本题满分48分，每小题8分）1．(训练题10)已知123456164aaaaaa．则351246aaaQaaa的最小值是___34___．2．(训练题10)将数列2，6，10，14，…按顺序分组，第一组2项（2，6），第二组6项（10，14，…，30），…第k组有42k项，则1994属于第16组.3．(训练题10)ABC的面积为S，45oA，直线MN分ABC的面积为相等的两部分，且M在AB上，N在AC上，则MN的最短长度为2(21)S.4．(训练题10)设02，使不等式2sin3cos640mm恒成立的实数m取值范围是_12m_.5．(训练题10)对不同的实数m，方程2264940ymyxmm表示不同的抛物线，一条直线与这所有的抛物线都相交，且截得的弦长均为859．则这条直线的方程是___133yx___.6．(训练题10)若复数z满足6532230zizzi．则z1z．第二试一、(训练题10)（本题满分20分）设(23)nna．求证：对一切nN，[]na为奇数（[]x表示不超过x的最大整数）．二、(训练题10)（本题满分20分）在自然数1，2，3，…，n,…中去掉所有含数字0，7，8，9的那些自然数，得数列{an}：1，2，3，4，5，6，11，12，…，16，21，22，…．求证：11498nna．三、(训练题10)（本题满分30分）在ABC中，ABAC，点M在AB上,且MAMC，点N在AC上，且,:2:3CNCBANBA．求NMC的度数．(30oNMC)四、(训练题10)（本题满分30分）平面上给定1994个点，其中任何三点不共线，将以这些点为端点的每条线段都标上+1或-1，如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1，称三角形为负的．试证明负三角形个数为偶数．