圆锥曲线练习

圆锥曲线练习第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(10×5′=50′)1.已知有向线段PQ的起点P（-1，1），终点Q（2，2）,若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ的延长线相交，如图所示，则m的取值范围是()A.23,31B.32,3C.(-∞,-3)D.,322.若P(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,Q(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)表示的直线()A.与l重合B.与l相交于点PＣ.过点Ｑ且与l平行Ｄ.过点Q且与l相交3.直线l:y=kx+1(k≠0)，椭圆E：1422ymx.若直线l被椭圆E所截弦长为d,则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是()A.kx+y+1=0B.kx-y-1=0C.kx+y-1=0D.kx+y=04.若m、n是不大于6的非负整数，则Cm6x2+Cn6y2=1表示不同的椭圆的个数为()A.A27B.C26C.A24D.C245.在椭圆上一点A看两焦点F1、F2的视角为直角，设AF1的延长线交椭圆于点B，又|AB|=|AF2|，则椭圆的离心率e可能为()A.2-22B.36C.2-1D.236.F1、F2分别为椭圆1422yx的左、右焦点，AB为其过点F2且斜率为1的弦，则AF1·BF1的值为()A.523B.326C.546D.57.如果把圆C:x2+y2=1沿向量a=(1,m)平移到C′,且C′与直线3x-4y=0相切,则m的值为()A.2或-21B.2或21C.-2或21D.-2或-21第1题图8.在圆x2+y2=5x内,过点23,25有n条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为an,若公差d∈31,61,那么n的取值集合为()A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{3,4,5,6}D.{4,5,6,7}9.若当p(m,n)为圆x2+(y-1)2=1上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c的取值范围是()A.-1-2≤c≤2-1B.2-1≤c≤2+1C.c≤-2-1D.c≥2-110.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，使|AF||BF|,过点A作与x轴垂直的直线交抛物线于点C,则△BCF的面积是()A.64B.32C.16D.8二、填空题（4×4′=16′）11.一个圆周上有10个点，每两点连成一条弦，这些弦在圆内的交点最多有个.12.设圆C经过点M(-2,0)和点N(9,0),直线l过坐标原点,圆C与直线l相交于点P、Q,当直线l绕原点在坐标平面内旋转时,弦PQ长度的最小值是.13.函数y=x1的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长是.14.椭圆12222byax(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.对任意的实数λ,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d,求d的取值范围.16.已知椭圆E：12222byax(ab0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（2-1）,求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-33,22)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.17.椭圆的焦点在y轴上，中心在原点，P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆两焦点，点P到两准线的距离分别为556和5512,且PF1⊥PF2.(1)求椭圆的方程；(2)过点A（3，0）的直线l与椭圆交于M、N两点，试判断线段MN的中点Q与点B（0，2）的连线能否过椭圆的顶点，若能则求出l的方程，若不能则说明理由.18.椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=32,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：CA=λBC.(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;(2)若λ为常数，当△OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程;(3)若λ变化，且λ=k2+1,试问：实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程.19.有一张矩形纸片ABCD，如图(1)所示那样折叠，使每次折叠后，点A都落在DC边上，试确定：是否存在一条曲线，使这条曲线上的每一点都是某条折痕（满足以上条件）与该曲线的切点，且每条折痕与该曲线相切［如图(2)］.第19题图圆锥曲线练习参考答案一、选择题1.B易知kPQ=31)1(212,直线x+my+m=0过点M（0，-1）.当m=0时，直线化为x=0,一定与PQ相交，所以m≠0.当m≠0时，k1=-m1.考虑直线l的两个极限位置.(1)l经过点Q，即直线为l1,则k1l=2302)1(2.(2)l与PQ平行，即直线为l2,则k2l=kPQ=31.∴31-m123.∴-3m-32.故选B.2.C由题意知f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=m(m为非零常数).所以方程f(x,y)=f(x1,y2)+f(x2,y2),即f(x,y)-m=0.所以f(x)表示的直线过点Ｑ,且平行于直线l.3.D因为A、B、C三个选项分别是直线l关于x轴、原点、y轴的对称直线，又椭圆E关于x轴、原点、y轴都对称，所以A、B、C三个选项所表示的直线被椭圆E所截弦长都是d.故选D.4.C因为Cm6只有4个不同的值，故选C.5.B由题意知|AF1|≠|AF2|.∴2(|AF1|2+|AF2|2)(|AF1|+|AF2|)2.∴2×4c24a2.∴e=ac22≈0.707.对照备选答案，只有B可能.6.C分析本题可把直线AB与椭圆两方程联立求出A、B坐标后写出AF1、BF1的坐标表示，再按定义进行.也可先求出向量AF2、BF2，利用AF1·BF1=(21FF+AF2)·(21FF+BF2)来做.解法一3,1422xyyx消去y得5x2-83x+8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴AF1·BF1=(x1+3,y1)·(x2+3,y2)=(x1+3,x1-3)·(x2+3,x2-3)=(x1+3)(x2+3)+(x1-3)(x2-3)=2(x1x2+3)=2(58+3)=546,选C.解法二设直线AB方程为223tytx,代入椭圆方程1422yx,5t2+26t-2=0AF1·BF1=(21FF+AF2)·(21FF+BF2)=(21FF)2+21FF·(AF2+BF2)+AF2·BF2=(23)2+23·562·21+52=546.选C.7.A平移后圆的方程为(x-1)2+(y-m)2=1.由题意知平移后所得的圆的圆心到直线的距离d=2243|43|m=1,解得m=2或-21.8.D如图，⊙C的圆心为C(0,25),半径R=|CB|=25,最短弦a1=|AB|=4,最长弦an=|DE|=5.由an=a1+(n-1)d,得d=1111nnaan,已知d∈31,61,∴n-1∈［3,6］,n∈［4,7］,即n=4,5,6,7.选D.9.D本题是解析几何题型，而又求数的范围,故适合用数形结合思想直观解之.如图，圆C恒在直线y=-x-c上方，至少直线l与圆相切于A点,若l交y轴于B,∵kl=-1,∴△ABC为等腰直角三角形.|AB|=|AC|=1,|BC|=2,必有B(-2+1,0),即直线的纵截距-c≤-2+1时圆恒在直线l上方，∴c≥2-1.选D.第8题图解第9题图解10.C分析如图由抛物线关于x轴对称知∠AFC=90°,△BFC为Rt△,只须求FB、FC之长即可.解抛物线顶点为(-2,0),且焦参数p=4,知焦点F(0,0)为原点.∴直线AB的方程为y=x,代入抛物线方程:x2=8(x+2).即(x-4)2=32,∴x=4±42.故有A(4+42,4+42),B(4-42,4-42),C(4+42,-4-42).由条件知∠AFx=∠CFx=45°,∴在△BFC中∠BFC=90°.∴S△BFC=21|FB|·|FC|=212222)424()424()424()424(=22)424()424(=32-16=16.∴选C.二、填空题11.210分析本题直接求解较难，可转化为求圆的内接四边形的个数（由于每一个四边形，对应着对角线的一个交点），从而使问题简化.解在圆内相交于一点的两弦，可作为一个四边形的两条对角线，它对应着一个圆内接四边形.反之，每一个圆内接四边形，都对应着对角线的一个交点.这样，圆内接四边形与弦在圆内的交点可建立一一对应的关系.因此，弦在圆内的交点最多有C410=210个.12.62当直线l绕原点O旋转到使OC垂直于l时,｜PQ｜最小.因为O为PQ的中点,所以由相交弦定理得｜OP｜｜OQ｜=｜OM｜｜ON｜=18,即｜OP｜2=18,所以｜OP｜=32.所以｜PQ｜=2｜OP｜=62.13.22由.,1xyxy得A(-1,-1)、B(1,1)，所以2a=|AB|=22.14.3-1设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A，则|AF1|=c,|AF2|=3c.∴2a=(1+3)c.∴e=ac=13312.三、解答题15.解将原方程化为(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0,它表示的是过两直线2x-y-6=0和x-y-4=０交点的直线系方程,但其中不包括直线x-y-4=０.因为没有λ的值使其在直线系中存在.解方程组.04,062yxyx得.2,2yx所以交点坐标为(2,-2).当所求直线过点Ｐ和交点时,d取最小值为０;当所求直线与过点Ｐ和第10题图解交点的直线垂直时,d取最大值,此时有d=24)22()22(22.但是此时所求直线方程为x-y-4=0.而这条直线在直线系中不存在.所以d的取值范围是24,0.16.解（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+2c)2+(y-2b)2=422bc,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上,∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=3-1.(负值已舍去)(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-bc=-1.∴b=c,而原点到MN的距离为d=aaacbccac|2||)(|22222=|2c-a|=(2)a,∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是181622yx;(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有-22-bc-33,∴33bc22,∴3122bc21,∴31222cac21.故得2222cca3,∴322ca4,求得21e33,即当离心率取值范围是（21,33）时，直线MN的斜率可以在区(22,-33)内取值.17.解（1）设椭圆的方程为12222aybx(ab0),c=22ba,|PF1|=m,|PF2|=n,则由题意和椭圆的性质得m+n=2a,n=2m,m2+n2=4c2,551822ca解得a=3,b=2,c=5.故所求的椭圆方程为19422yx.(2)由（1）知直线l与椭圆相交时斜率一定存在，故设l的方程为y=k(x-3),代入19422yx,整理得(9+4k2)x2-24k2x+36k