高考数学第八章第4讲

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何方法位置关系几何法代数法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相离d________rΔ________0＝＝栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离__________________外切__________一组实数解相交________________两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)______________内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)________dr1＋r2无解d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2一组实数解无解栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．(必修2P132习题4.2A组T1改编)直线l：x＋3y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是()A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离C解析：圆心坐标为(0，0)，圆心到直线l的距离d＝|－4|2＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或3B．1或3C．－2或6D．0或4D解析：圆心(a，0)到直线x－y＝2的距离d＝|a－2|2，则2222＋|a－2|22＝22，所以a＝0或4，故选D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0D解析：因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k＝33，所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________．9解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＋4y－12＝0，得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为22.5．(必修2P133习题4.2A组T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．22栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一直线与圆的位置关系(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2016·大连模拟)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是k∈___________________．B(－3，3)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＝1，则直线与圆O相切．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)(2016·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4AC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：(1)法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋（y－1）2＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝|m|m2＋1＜1＜5，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二圆与圆的位置关系分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝50－k，k＜50.从而|C1C2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5.当|50－k－1|＜5＜50－k＋1，即4＜50－k＜6，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条(2)(2016·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．D4栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：(1)圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1.所以d＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r1＋r2＝3，所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．(2)由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，所以m＝±5，|AB|＝2×25×55＝4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点三与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)求圆的切线方程；(2)求弦长；(3)与切线长有关的问题；(4)由弦长及切线问题求参数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)(2015·高考重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_______________________．(2)(2015·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．x＋2y－5＝02栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)因为以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，所以圆的方程为x2＋y2＝5.因为kOP＝2，所以切线的斜率k＝－12.由点斜式可得切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝532＋（－4）2＝1.因为∠AOB＝120°，OA＝OB，所以∠OBD＝30°，所以|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点