高考数学第八章第6讲

第6讲双曲线第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线__________为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a________为双曲线的焦距2a|F1F2|F1、F2|F1F2|栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：________，对称中心：________坐标轴原点栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝________，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)caa2＋b2栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y＝±bax，则可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x2m＋y2n＝1(mn＜0)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．(2016·昆明质检)若双曲线x2a2－y2＝1的一个焦点为(2，0)，则它的离心率为()A.255B.32C.233D．2C解析：由焦点为(2，0)知，c＝2，所以a2＋1＝22，所以a2＝3，a＝3，所以离心率e＝ca＝23＝233.故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．(2015·高考广东卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝1C解析：因为e＝ca＝54，F2(5，0)，所以c＝5，所以a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以双曲线C的标准方程为x216－y29＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．(2016·南昌模拟)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C的离心率为()A．2或3B.233C．2或233D．2B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：由题意知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，所以ba＝tanπ6＝33，所以a＝3b，c＝a2＋b2＝2b，故双曲线C的离心率e＝ca＝2b3b＝233.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．(2015·高考北京卷)已知(2，0)是双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________．3解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b0，所以b＝3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：设双曲线的方程为：x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8，故所求方程为x28－y28＝1.5．(选修2­1P62习题2.3A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________．x28－y28＝1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一双曲线的定义(1)设双曲线x2－y28＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)(2016·云南省第一次统一检测)已知F1、F2是双曲线M：y24－x2m2＝1的焦点，y＝255x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝________．12栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－822＝85.(2)由题意易得，双曲线的方程为y24－x25＝1，椭圆的方程为x27＋y216＝1，不妨设|PF1||PF2|，从而可知|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4⇒|PF1|＝6，|PF2|＝2⇒|PF1|·|PF2|＝12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.(1)已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线x216－y29＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则|sinA－sinB|sinP的值等于()A.45B.74C.54D.7(2)(2016·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________________．Ax29－y216＝1(x3)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：(1)在△ABP中，由正弦定理知|sinA－sinB|sinP＝||PB|－|PA|||AB|＝2a2c＝810＝45.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二求双曲线的标准方程(1)(2016·东北三校联合模拟)与椭圆C：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B．y2－x212＝1C.y22－x22＝1D.y23－x2＝1C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)(2015·高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1D栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解析](1)椭圆y216＋x212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为y2m－x2n＝1(m0，n0)，则3m－1n＝1，m＋n＝4，解得m＝n＝2.所以双曲线的标准方程为y22－x22＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)由双曲线的渐近线y＝±bax与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知|±ba×2|1＋ba2＝3，c＝2，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝3.故所求双曲线的方程为x2－y23＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线x2a2－y2b2＝±1，(a0，b0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，a0，b0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，所以b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13.所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点三