【走向高考】2016高考数学二轮复习-第一部分-微专题强化练-专题27-转化与化归思想、数形结合思想

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练二增分指导练第一部分27(文25)转化与化归思想、数形结合思想考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析1．数形结合思想的应用：集合及其运算中数轴与Venn图的运用；函数图象在函数、方程、不等式中的应用；向量的应用；三角函数图象的应用；数学表达式的几何意义；坐标系的应用；解析几何与立体几何中的数形结合．2．转化与化归思想的应用：正与反的转化；一般与特殊的转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不等的转化；实际问题向数学模型的转化；数学内部各分支之间的相互转化等．考题引路考例1(2015·陕西理，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128[立意与点拨]考查线性规划与数形结合思想的应用．解答本题应先依据条件列出不等式组画出图形，然后平移目标函数直线观察求解．[答案]D[解析]设该企业生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为R，则由题意有R＝3x＋4y，同时满足3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0.由此可得可行区域如图中阴影部分所示，由y＝－34x＋14R可得，当过点(2,3)时，利润可取得最大值，Rmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．故本题正确答案选D．考例2(文)(2015·天津文，19)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.(i)求λ的值；(ii)若|PM|sin∠BQP＝759，求椭圆的方程．[立意与点拨]考查椭圆方程与几何性质、直线的方程及运算求解能力、方程思想及化归思想；第(1)问利用离心率及a2＝b2＋c2求之；第(2)问先通过BF、BQ与椭圆方程联立求出P、Q坐标，再求之，然后结合(ii)的条件，求c.[解析](1)F(－c,0)，由已知离心率ca＝55及a2＝b2＋c2，可得a＝5c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)故直线BF的斜率k＝b－00－－c＝bc＝2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．(i)由(1)可得椭圆方程为x25c2＋y24c2＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c，两方程联立消去y，得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－5c3.因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－12x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，得21x2－40cx＝0，解得xQ＝40c21.又因为λ＝|PM||MQ|，及xM＝0，得λ＝|xM－xP||xQ－xM|＝|xP||xQ|＝78.(ii)由(i)得|PM||MQ|＝78，所以|PM||PM|＋|MQ|＝77＋8＝715，即|PQ|＝157|PM|，又因为|PM|sin∠BQP＝759，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝157|PM|sin∠BQP＝553.又因为yP＝2xP＋2c＝－43c，所以|BP|＝0＋5c32＋2c＋4c32＝553c，因此553c＝553，c＝1，所以椭圆方程为x25＋y24＝1.(理)(2015·重庆文，21)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ43，试确定椭圆离心率e的取值范围．[立意与点拨]考查椭圆的标准方程与几何性质，函数与方程、转化与化归的思想．解答本题(1)由定义及勾股定理求解；(2)由定义结合条件求出PF1、PF2，再结合勾股定理建立方程，通过换元转换为函数问题解决．[解析](1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c＝3.从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|得，|QF1|＝|PF1|2＋|PQ|2＝1＋λ2|PF1|，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF1|＝4a.解得|PF1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2aλ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而4a1＋λ＋1＋λ22＋2aλ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ22＝4c2，两边除以4a2，得41＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－121＋λ＋1＋λ22＝e2，若记t＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e2＝4＋t－22t2＝81t－142＋12.由34≤λ43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t4，即141t≤13，进而12e2≤59，即22e≤53.易错防范案例设函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值，判断并证明当a1时，函数f(x)在R上的单调性；(2)已知f(1)＝32，函数g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，x∈[－1,1]，求g(x)的值域；(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1,2]时恒成立．请求出最大的整数λ.[易错分析]本题有两个易错点：一是不能利用函数单调性的定义证明单调性；二是不能正确利用换元法求函数值域以及解决不等式恒成立问题．纠错方法是加强典型题型通解通法的训练，如不等式恒成立问题的解法一是分离参数；二是利用函数的最值．利用换元法解题时，换元后必须考虑新元的取值范围，以保证等价转化等．[解答](1)∵f(x)＝kax－a－x是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，得k＝1.∴f(x)＝ax－a－x，设x2x1，则f(x2)－f(x1)＝ax2－1ax2－(ax1－1ax1)＝(ax2－ax1)(1＋1ax2ax1)，∵a1，∴ax2ax1，∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－12(舍去)，则y＝g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)，x∈[－1,1]，令t＝2x－2－x，x∈[－1,1]，由(1)可知该函数在区间[－1,1]上为增函数，则t∈[－32，32]，则y＝h(t)＝t2－2t＋2，t∈[－32，32]，当t＝－32时，ymax＝294；当t＝1时，ymin＝1，所以g(x)的值域为[1，294]．(3)由题意，即33x－3－3x≥λ(3x－3－x)，在x∈[1,2]时恒成立．令t＝3x－3－x，x∈[1,2]，则t∈[83，809]，则(3x－3－x)(32x＋1＋3－2x)≥λ(3x－3－x)在x∈[1,2]时恒成立，即为t(t2＋3)≥λ·t，在t∈[83，809]时恒成立，即λ≤t2＋3，t∈[83，809]恒成立，当t＝83时，(t2＋3)min＝919，∴λ≤919，则λ的最大整数为10.