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走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练一考点强化练第一部分13立体几何中的向量方法(理)考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析1.一般不单独命制考查空间向量的概念与运算的题目．2．若在客观题中考查，通常是在几何体中求空间角．3．本部分一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行，线面垂直与平行、面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形——如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主.考题引路考例(2015·新课标Ⅰ理，18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．[立意与点拨]考查空间垂直的判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力．第(1)问欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，要充分利用所给垂直条件及菱形的特殊性通过推理或计算证明线线垂直，得到线面垂直．第(2)问利用(1)的结论建立空间直角坐标系用向量法求．[解析](1)连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知，AE＝EC，又∵AE⊥EC，∴EG＝3，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322，∴EG2＋FG2＝EF2，∴EG⊥FG，∵AC∩FG＝G，∴EG⊥平面AFC，∵EG⊂平面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB→，GC→的方向为x轴，y轴正方向，|GB→|为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F(－1,0，22)，C(0，3，0)，∴AE→＝(1，3，2)，CF→＝(－1，－3，22)．故cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→|·|CF→|＝－33.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为33.易错防范案例混淆空间角与两向量夹角致误(2014·乌鲁木齐市诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；(2)在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1(要求说明理由)；(3)在(2)的条件下，若AB＝2，求二面角A－EB1－A1的大小．[易错分析]1.直线l与平面ABC成的角为θ，l的方向向量为a，平面ABC的法向量为n，则应有sinθ＝|a·n||a|·|n|，解答中易将线面角θ，代入公式cosθ＝n·BC1→|n|·|BC1→|导致错误；2．第(2)问的条件中未给出AB的长度，这样点A的坐标不能设为(0,0,1)，因为棱柱中有些棱的长度已经给出，因此不能设定AB＝1，解题中设量要紧扣题目条件；3．设n1，n2为平面AB1E与A1B1E的法向量，则平面AB1E与平面A1B1E成的二面角的大小θ满足cosθ＝|n1·n2||n1||n2|，但θ为锐角还是钝角，需根据实际情况确定，不能认定有两个值．[解答]∵AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥BC，AB⊥BB1，又∠BCC1＝90°，∴BC⊥CC1，∵BB1∥CC1，∴BB1⊥BC，即AB、BC、BB1两两垂直．如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)．(1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC的法向量BB1→＝(0,2,0)，BC1→＝(1,2,0)，设BC1与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BB1→，BC1→〉|＝255.(2)设E(1，y,0)，A(0,0，z)，则EB1→＝(－1,2－y,0)，EA→＝(－1，－y，z)．∵EA⊥EB1，∴EA→·EB1→＝1－y(2－y)＝0，∴y＝1，即E(1,1,0)，即E是CC1的中点．(3)∵A(0,0，2)，则AE→＝(1,1，－2)，B1E→＝(1，－1，0)．设平面AEB1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n·AE→＝0n·B1E→＝0，⇔x1＋y1－2z1＝0x1－y1＝0，取n＝(1,1，2)．∵BE→＝(1,1,0)，BE→·B1E→＝1－1＝0，∴BE→⊥B1E→.又BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量为BE→＝(1,1,0)，∴cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n|·|BE→|＝22，∴二面角A－EB1－A1的大小为45°.[警示]求空间角时必须严格按空间角的定义及与相应的直线的方向向量、平面的法向量之间的关系式来求，二面角的大小还要结合图形判断．