云师堂-高考数学-2017一轮复习第九章第3讲

第3讲二项式定理第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．二项式定理(1)定理(a＋b)n＝__________________________________________．(2)通项第k＋1项为：Tk＋1＝____________．(3)二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为：___________________．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)Cknan－kbkCkn(k＝0，1，2，…，n)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．二项式系数的性质栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．辨明三个易误点(1)通项Tk＋1＝Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ckn(k＝0，1，…，n)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来，即得．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2015·高考陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7B．6C．5D．4B解析：(x＋1)n＝(1＋x)n，(1＋x)n的通项为Tr＋1＝Crnxr，令r＝2，则C2n＝15，即n(n－1)＝30.又n0，得n＝6.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．已知x－1x7展开式的第4项等于5，则x等于()A.17B．－17C．7D．－7B解析：由T4＝C37x4－1x3＝5得x＝－17，故选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于()A．180B．－180C．45D．－45A解析：由题意得a8＝C81022(－1)8＝180.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布4．(选修23P31例2(1)改编)(1＋2x)7的展开式的第4项为________．280x3解析：(1＋2x)7的展开式的第4项是T3＋1＝C37×17－3×(2x)3＝C37×23×x3＝35×8x3＝280x3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：Tr＋1＝Cr5(x2)5－r·－axr＝(－a)rCr5·x10－3r.当10－3r＝1时，r＝3，于是x的系数为(－a)3C35＝－10a3，从而由已知得a＝1.5．在二项式x2－ax5的展开式中，x的系数是－10，则实数a的值为________．1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点一二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求n的值或参数的值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(1)(2015·高考湖南卷)已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝()A.3B．－3C．6D．－6(2)(2016·山西省第三次四校联考)若x6＋1xxn的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6DC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解析](1)Tr＋1＝Cr5(x)5－r·－axr＝Cr5(－a)rx5－2r2，由5－2r2＝32，解得r＝1.由C15(－a)＝30，得a＝－6.(2)因为Tr＋1＝Crn(x6)n－r1xxr＝Crnx6n－152r，当Tr＋1是常数项时，6n－152r＝0，即n＝54r，故n的最小值为5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1.(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)x－124x8的展开式中的有理项共有________项．C3栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)x－124x8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(x)8－r·－124xr＝－12rCr8x16－3r4(r＝0，1，2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T1＝－120C08x4＝x4，T5＝－124C48x＝358x，T9＝－128C88x－2＝1256x2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点二二项式系数或各项系数和(1)(2016·辽宁省五校高三联考)若x＋2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A．360B．180C．90D．45B(2)(2016·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解析](1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项为Tr＋1＝Cr10(x)10－r·2x2r＝Cr102rx5－52r，所以r＝2时，常数项为180.(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为_____________．－1或－5解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2.(1)在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________．(2)若(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等，则系数最大的项为________．3672x5栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：(1)(赋值法)由题意可知，B＝2n，令x＝1，得A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，即2n＝8，n＝3.(2)由于x3与x4项的二项式系数相等，则n＝7，所以Tk＋1＝Ck7(2x)k，由Ck72k≥Ck＋172k＋1，Ck72k≥Ck－172k－1，得133≤k≤163，所以k＝5，所以系数最大的项为C57(2x)5＝672x5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点三二项式定理的应用设a∈Z，且0≤a＜13，若512016＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12D[解析]512016＋a＝(52－1)2016＋a＝C02016522016－C12016522015＋…＋C20152016×52×(－1)2015＋C20162016×(－1)2016＋a.因为52能被13整除，所以只需C20162016×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．栏目导引