随机信号表示法

第三章随机信号表示法（Randomsignalrepresentation）王静前期课程初等概率论高等数学（对简单函数的微积分）信号分析基本知识点第1节、随机信号第2节、随机信号的统计特征描述第3节、几种典型的随机过程第4节、随机信号通过线性系统确定性信号，就是其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。随机信号只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确性（accuracy）或可信性（confidence）范围内进行预测。第一节随机信号（Randomsignal）本节重点：平稳且各态遍历医学信号属于哪一种类型的信号？ECGEEG随机信号随机信号的性质：1.随机信号中的任何一个点上的取值都是不能先验确定的随机变量。(硬币实验）2.随机信号可以用它的统计平均特征来表征。用柱状图表示摩根的四个样本出现正面次数出现反面次数1061104810171039987100010311009统计结果是否准确？P=0.04一般的信号分类物理信号确定性随机性周期性非周期性平稳非平稳各态遍历非各态遍历如果随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，则为平稳随机过程，否则为非平稳随机过程。如果所有样本在固定时刻的统计特征与单一样本在全时间上的统计特征一致，则为各态遍历的随机过程。平稳过程结全图来说明，每一行曲线代表随机信号的一个样本；随机信号在不同时刻是取值不同的随机变量，但它们的分布遵循概率密度函数，在t1时刻服从p(x1;t1),t2时刻服从p(x2;t2)。如果总有E(x1)=E(x2)即要求p(x1;t1)=p(x2;t2)则此随机过程在均值意义上平稳各态遍历过程结合图来说明，每一行曲线代表随机信号的一个样本；设x(i)(t1)表示第i个样本在t1时刻的取值，如果总体平均等于时间平均：()()11(1)()limlimTNiiNTiTxtxtdtN则为各态遍历的3.2.1概率分布函数１.一维概率分布函数对于一个随机变量xn,用Pxn(x1,n)来表示它的概率分布函数，则有：第二节随机信号的统计特征描述][),(),(][),(11111xxnxpnxpxxxnxPnxxnnxnnn＝概率概率密度函数：来表示的取值是离散的，则用如果概率２.二维概率分布函数二维联合概率分布函数二维联合概率分布函数的二阶偏微分对应着相应的二维联合概率密度函数：当随机变量和统计独立时则有：),(),;,(,2211221121xxxxnxnxPnnxxnn概率),(),;,(,2211221121xxxxnxnxpnnxxnn概率)()(),;,(,221122112121xxpxxpnxnxpnxnxxxnnnn3.2.2广义的平稳随机过程1.平稳随机过程一阶平稳过程(firstorderstableprocess)：信号的平均值与t无关的过程叫一阶平稳过程。二阶平稳过程：二阶平稳过程需满足：（1）信号的平均值与t无关；（2）信号的均方值与t无关；（3）信号的协方差只是时间间隔的函数，而与时间原点的选择无关。今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广义平稳随机过程，只有一阶，二阶统计特征具有平稳性即可。3.2.3统计特征量１.数字期望（均值）随机变量的均值定义为：２.均方值随机变量的均方值定义为：dxxxpxEmnxn)(][dxxpxxEn)(][22３.方差随机变量的方差定义为：利用以上式容易得到方差、均值、均方值的关系：对于平稳随机过程，方差、均值、均方值(3个一阶统计特征量）都是与时间无关的常数，可以将时间坐标省去。])[(22nnxnxmxE222][nnxnxmxE４.协方差（重点）一个平稳随机信号的自协方差定义为对于两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互协方差定义为：)])([()(xmnxnxxmxmxEmC)])([()(ymnxnxymymxEmC５.相关函数（重点）一个平稳随机信号中的两个时间点上的随机变量之间的自相关函数定义为：对于两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互相关函数定义为：利用以上关于{xn}式子可以看出两者有如下关系：][)(mnnxxxxEmR][)(mnnxyyxEmR2)()(xxxxxmmRmC互相关函数和互协方差是衡量两个随机过程{xn}和{yn}的随机变量间的相关性，利用关于{xn}和{yn}可以看出两者有如下关系：相关函数或者协方差是与二维概率分布有关的统计特性，也隐含了一维特征量，因此相关函数或协方差是表征一个随机过程的最重要的统计特性。yxxyxymmmRmC)()(3.2.4平稳各态遍历随机过程的样本数字特征各态遍历随机信号：所有样本函数在某给定时刻的统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致的平稳随机信号。这就是说，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。随机信号的各态遍历特性，使我们能由单一样本函数的时间平均来代替集总平均。本课程分析的医学信号的前提是平稳且各态遍历的对于一个平稳各态遍历随机过程，如果我们测得该过程的一个样本值，就可以计算出以下的一些样本数字特征，可以用它们来估计统计特征量：样本平均值样本均方值样本的数字特征（本节重点）niixxnm11ˆniixxnmE1221]ˆ[样本方差样本协方差是另外一个平稳随机过程的样本，是它的样本平均值，当与相同时，上式求到的就是样本自协方差。212)ˆ(1ˆnixixmxn)ˆ)(ˆ(1ˆ1yminixixymymxnC1iniyiymˆ1iniyi1inixi样本相关函数【例3-1】下图所示是随机产生的符合高斯分布的100点样本序列，并且均值为零，方差为1。讨论该信号的样本特征量。nimiixyyxnmR11)(ˆnimiixynixmixixxnixixniixxniixxxnmRmxmxnmCmxnxnmEmxnm112122122211)(ˆ)ˆ)(ˆ(1)(ˆ7468.0)ˆ(1ˆ7491.01]ˆ[0023.0ˆ0479.01ˆ征量，有：计这一个样本的数字特我们用样本统计法来估x=randn(1,100);mx=mean(x);varx=var(x);stdx=std(x);mx=0.0479varx=0.7543stdx=0.8685r=xcorr(x),plot(r)下图上、中、下分别画出了自协方差和自相关函数以及两个信号的差。高斯过程：描述过程特性的所有概率密度函数都是高斯型的，它的均值为第三节几种典型的随机过程)]()[(21exp)2(1)()(............)])([(...)])([()(],...,,[121221122221121121nnnnPmxEmxmxEmxmxEmxEmmm概率密度函数为＝协方差矩阵为高斯过程的特性只要知道信号的均值矢量和协方差矩阵，则任意阶的概率密度函数都可以解析表达出。只要均值和方差是常数，协方差只与时间差有关，（即1，2阶平稳），则必然是高阶平稳。如果各随机变量互不相关，也必然互相独立。高斯过程经过线性运算（加减微分积分）后还是高斯型的。理想白噪过程：功率谱是常数的随机过程，用w(n)表示白噪过程，该功率谱为只有当m=0时,自相关才有值。即不同时刻白噪的取值总不相关。)()()(mAmRAPww自相关函数为限带白噪过程：实际的线性系统总是有限的带宽,理想白噪通过线性系统后也会变成有限带宽。用w(n)表示限带白噪过程，该功率谱为mmAmRAPww00000sin)(,0,)(自相关函数为例3-5、3-6研究确定性信号常用的方法：傅立叶变换第四节随机信号通过线性系统knjwkkeAknjwekkkjweHA)(H(ejw)H(ejw))(nx)(ny)(nx)(nynjwe0njwjweeH00)(1.2图当输入信号x是随机信号时我们无法求它的傅立叶变换。如何分析输出y呢？1.分析y的概率密度函数是最直接、最全面的方法。2.分析y的自相关函数或功率谱密度，反映二阶特征。3.分析y的均值、方差，反映一阶特征。注意输入必须平稳的，系统是稳定线性时不变的基本关系式)(*)()(.4)()()(.3)(*)(*)()(.2)()()(.12mhmRmRePeHePmhmhmRmRePeHePxxyjxjjxyxyjxjjyy(n)Py(ejw)X(n)Px(ejw)H(ejw)详细证明见书例3-7、3-8、3-9用Matlab程序计算例3-1,调试结果作业: