11-5曲线积分的应用(ppt文档)

11.5曲线积分的应用11.5.1曲边柱面的面积11.5.2曲线形物体的质量、质心和惯性矩11.5.3变力做功9-1设L为xOy坐标面上的一段曲线，则母线平行于z轴，准线为曲线L，高度为非负连续函数(,)((,))hxyxyL的曲边柱面的面积为(,)dLShxys．11.5.1曲边柱面的面积例11.5.1设平面曲线段L为1,0ln32xyex，求曲边柱面：20xze，(,)xyL的面积S．解11ln3ln32222222001d1d1d2xxxxxLSeseexee1ln3332222011(1)(82)33xe．9-2设曲线状物体占有xOy坐标面上的曲线段L，且在L上点(,)xy处，物体的线密度为(,)xy，则可得该物体的质量为(,)dLMxys；该物体的质心坐标为11(,)((,)d,(,)d)LLxyxxysyxysMM；进而得形心坐标为11(,)(d,d)LLxyxsysll，其中l为L的弧长．11.5.2曲线形物体的质量、质心和惯性矩该物体关于x轴，y轴及坐标原点O的惯性矩分别为2222(,)d,(,)d,()(,)dxyoLLLIyxysIxxysIxyxys．注：空间曲线状物体的质量、质心和惯性矩也有相应的的计算公式．9-3例11.5.2设曲线状物体占有平面曲线段21:,012Lyxx．在L上点(,)xy处，物体的线密度为(,)12xyy，求该物体的质量为M，以及质心坐标为(,)xy．解该物体的质量为11222004(,)d12d11d(1)d3LLMxysysxxxxx．所以该物体的质心坐标为3441591(,)(,)(,)4343165xy．又1203(,)d12d(1)d4LLxxysxysxxx，122014(,)d12d(1)d215LLyxysyysxxx，9-4例11.5.3设有半径为R，圆心角为2的均匀平面曲线状物体，求其对它的对称轴的惯性矩．解如图11-5-1所示建立坐标系．设物体的线密度为常数，物体所在的圆弧L的参数方程为cos,sin,xRyR，所以物体对其对称轴（x轴）的惯性矩为2222d(sin)(sin)(sin)daxLaIysRRR3232301sind2sind(sin2)2aaaRRRa．9-5由对坐标的曲线积分的物理背景可知，变力(,)(,)(,)xyPxyQxyFij沿平面有向曲线段L所做的功为(,)d(,)dLWPxyxQxyy．变力(,,)(,,)(,,)(,,)xyzPxyzQxyzRxyzFijk沿空间有向曲线所做的功为(,,)d(,,)d(,,)dWPxyzxQxyzyRxyzz．11.5.3变力做功9-6例11.5.4设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2kr（0k为常数，r为质点A与M之间的距离），质点M沿曲线22yxx自点(2,0)B运动到点(0,0)O．求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功W．解由图11-5-2知22{,1},||(1)MAxyrMAxy．由于引力(,)xyF的方向与MA一致，所以333(1)(,)|(,)|{,1}MAkkxkyxyxyxyrrrrFFij．从而引力(,)xyF沿有向曲线22,:20yxxx，从点B运动到点O时，对质点M所做的功为33(1)()ddBOkxkyWxyrr．9-7注意到33(,),(,)(1)kkPxyxQxyyrr，以及53(1),(,)(0,1)PkxyQxyyrx，所以曲线积分33(1)()ddLkxkyxyrr在不包含点(0,1)的单连通区域D内与路径无关，故选取积分路径:0,:20BOyx．因此所求功为0222323201[]dd(1)5((10))(1)kxkxWxxkxx．（续解）33(1)()ddBOkxkyWxyrr9-8例11.5.5设一质点受变力(,,)()xyzyxxyzFijk的作用，从点(1,0,0)A处沿螺旋线cos,sin,2txtytz移动到点(1,0,1)B处，求变力(,,)xyzF对质点所做的功W．解由题设知，质点运动的路径为:cos,sin,,:022tABxtytzt，则dd()dWyxxyxyzz201[sin(sin)coscos(cossin)]d22tttttttt22011[1(cossin)]d2242tttt．9-9