2020年浙江省高考数学试卷-含详细解析

第1页，共15页2020年浙江省高考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合𝑃={𝑥|1𝑥4}，𝑄={𝑥|2𝑥3}，则𝑃∩𝑄=()A.{𝑥|1𝑥≤2}B.{𝑥|2𝑥3}C.{𝑥|3≤𝑥4}D.{𝑥|1𝑥4}2.已知𝑎∈𝑅，若𝑎−1+(𝑎−2)𝑖(𝑖为虚数单位)是实数，则𝑎=()A.1B.−1C.2D.−23.若实数x，y满足约束条件{𝑥−3𝑦+1≤0𝑥+𝑦−3≥0，则𝑧=𝑥+2𝑦的取值范围是()A.(−∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(−∞,+∞)4.函数𝑦=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥在区间[−𝜋,𝜋]的图象大致为()A.B.C.D.5.某几何体的三视图(单位：𝑐𝑚)如图所示，则该几何体的体积(单位：𝑐𝑚3)是()A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的()第2页，共15页A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛，公差𝑑≠0，𝑎1𝑑⩽1.记𝑏1=𝑆2，𝑏𝑛+1=𝑆𝑛+2−𝑆2𝑛，𝑛∈𝑁∗，下列等式不可能成立的是()A.2𝑎4=𝑎2+𝑎6B.2𝑏4=𝑏2+𝑏6C.𝑎42=𝑎2𝑎8D.𝑏42=𝑏2𝑏88.已知点𝑂(0,0)，𝐴(−2,0)，𝐵(2,0)，设点P满足|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=2，且P为函数𝑦=3√4−𝑥2图象上的点，则|𝑂𝑃|=()A.√222B.4√105C.√7D.√109.已知a，𝑏∈𝑅且a，𝑏≠0，若(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)≥0在𝑥≥0上恒成立，则()A.𝑎0B.𝑎0C.𝑏0D.𝑏010.设集合S，T，𝑆⊆𝑁∗，𝑇⊆𝑁∗，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，𝑦∈𝑆，若𝑥≠𝑦，都有𝑥𝑦∈𝑇；②对于任意x，𝑦∈𝑇，若𝑥𝑦，则𝑦𝑥∈𝑆；下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则𝑆∪𝑇有7个元素B.若S有4个元素，则𝑆∪𝑇有6个元素C.若S有3个元素，则𝑆∪𝑇有5个元素D.若S有3个元素，则𝑆∪𝑇有4个元素二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{𝑛(𝑛+1)2}就是二阶等差数列，数列{𝑛(𝑛+1)2}，(𝑛∈𝑁∗)的前3项和______．12.二项展开式(1+2𝑥)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5，则𝑎4=______；𝑎1+𝑎2+𝑎3=______．13.已知𝑡𝑎𝑛𝜃=2，则𝑐𝑜𝑠2𝜃=______；tan(𝜃−𝜋4)=______．14.已知圆锥的侧面积(单位：𝑐𝑚2)为2𝜋，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：𝑐𝑚)是______．15.已知直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘0)与圆𝑥2+𝑦2=1和圆(𝑥−4)2+𝑦2=1均相切，则𝑘=______，𝑏=______．16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为𝜉，则𝑃(𝜉=0)=______，𝐸(𝜉)=______．17.已知平面向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗满足|2𝑒1⃗⃗⃗−𝑒2⃗⃗⃗|≤√2，设𝑎⃗⃗=𝑒1⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗，𝑏⃗=3𝑒1⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗，向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为𝜃，则cos2𝜃的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知2𝑏sin𝐴−√3𝑎=0．(1)求角B；(2)求cos𝐴+cos𝐵+cos𝐶的取值范围．第3页，共15页19.如图，三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹中，面𝐴𝐷𝐹𝐶⊥面ABC，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=45°，𝐷𝐶=2𝐵𝐶．(1)证明：𝐸𝐹⊥𝐷𝐵；(2)求DF与面DBC所成角的正弦值．20.已知数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}，{𝑐𝑛}满足𝑎1=𝑏1=𝑐1=1，𝑐𝑛+1=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，𝑐𝑛+1=𝑏𝑛𝑏𝑛+2⋅𝑐𝑛(𝑛∈𝑁∗)．(1)若{𝑏𝑛}为等比数列，公比𝑞0，且𝑏1+𝑏2=6𝑏3，求q的值及数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若{𝑏𝑛}为等差数列，公差𝑑0，证明：𝑐1+𝑐2+𝑐3+⋯+𝑐𝑛1+1𝑑，𝑛∈𝑁∗．21.如图，已知椭圆𝐶1：𝑥22+𝑦2=1，抛物线𝐶2：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，点A是椭圆𝐶1与抛物线𝐶2的交点．过点A的直线l交椭圆𝐶1于点B，交抛物线𝐶2于点𝑀(𝐵,M不同于𝐴)．(1)若𝑝=116，求抛物线𝐶2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．第4页，共15页22.已知1𝑎≤2，函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−𝑎.其中𝑒=2.718281828459…为自然对数的底数．(1)证明：函数𝑦=𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有唯一零点；(2)记𝑥0为函数𝑦=𝑓(𝑥)在(0,+∞)上的零点，证明：(ⅰ)√𝑎−1≤𝑥0≤√2(𝑎−1)；(ⅰ)𝑥0𝑓(𝑒𝑥0)≥(𝑒−1)(𝑎−1)𝑎．第5页，共15页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合𝑃={𝑥|1𝑥4}，𝑄={𝑥|2𝑥3}，则𝑃∩𝑄={𝑥|2𝑥3}．故选：B．直接利用交集的运算法则求解即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：𝑎∈𝑅，若𝑎−1+(𝑎−2)𝑖(𝑖为虚数单位)是实数，可得𝑎−2=0，解得𝑎=2．故选：C．利用复数的虚部为0，求解即可．本题考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：画出实数x，y满足约束条件{𝑥−3𝑦+1≤0𝑥+𝑦−3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12𝑥+𝑧2=𝑦，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，当目标函数过点𝐴(2,1)时，截距最小为𝑧=2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数𝑧=2𝑥+𝑦的取值范围是[4,+∞)．故选：B．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数𝑧=𝑥+2𝑦的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．4.【答案】A【解析】解：𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，则𝑓(−𝑥)=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=−𝑓(𝑥)，∴𝑓(𝑥)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当𝑥=𝜋时，𝑦=𝑓(𝜋)=𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋+𝑠𝑖𝑛𝜋=−𝜋0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，下部是直三棱柱，底面是斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥的高为2，上部是一个三棱锥，一个侧面与底面等腰直角三角形垂直，棱锥的高为1，第6页，共15页所以几何体的体积为：12×2×1×2+13×12×2×1×1=73．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题借助空间的位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，故选：B．7.【答案】B【解析】解：在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑，𝑆𝑛+2=(𝑛+2)𝑎1+(𝑛+2)(𝑛+1)2𝑑，𝑆2𝑛=2𝑛𝑎1+2𝑛(2𝑛−1)2𝑑，𝑏1=𝑆2=2𝑎1+𝑑，𝑏𝑛+1=𝑆𝑛+2−𝑆2𝑛=(2−𝑛)𝑎1−3𝑛2−5𝑛−22𝑑．∴𝑏2=𝑎1+2𝑑，𝑏4=−𝑎1−5𝑑，𝑏6=−3𝑎1−24𝑑，𝑏8=−5𝑎1−55𝑑．A.2𝑎4=2(𝑎1+3𝑑)=2𝑎1+6𝑑，𝑎2+𝑎6=𝑎1+𝑑+𝑎1+5𝑑=2𝑎1+6𝑑，故A正确；B.2𝑏4=−2𝑎1−10𝑑，𝑏2+𝑏6=𝑎1+2𝑑−3𝑎1−24𝑑=−2𝑎1−22𝑑，若2𝑏4=𝑏2+𝑏6，则−2𝑎1−10𝑑=−2𝑎1−22𝑑，即𝑑=0不合题意，故B错误；C.若𝑎42=𝑎2𝑎8，则(𝑎1+3𝑑)2=(𝑎1+𝑑)(𝑎1+7𝑑)，即𝑎12+6𝑎1𝑑+9𝑑2=𝑎12+8𝑎1𝑑+7𝑑2，得𝑎1𝑑=𝑑2，∵𝑑≠0，∴𝑎1=𝑑，符合𝑎1𝑑⩽1，故C正确；D.若𝑏42=𝑏2𝑏8，则(−𝑎1−5𝑑)2=(𝑎1+2𝑑)(−5𝑎1−55𝑑)，即2(𝑎1𝑑)2+25𝑎1𝑑+45=0，则𝑎1𝑑有两不等负根，满足𝑎1𝑑⩽1，故D正确．∴等式不可能成立的是B．故选：B．由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得𝑏2,𝑏4,𝑏6,𝑏8，分析B，D成立时是否满足公差𝑑≠0，𝑎1𝑑⩽1判断B与D．本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前n项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：点O(0,0)，𝐴(−2,0)，B(2,0).设点P满足|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=2，可知P的轨迹是双曲线𝑥21−𝑦23=1的右支上的点，P为函数𝑦=3√4−𝑥2图象上的点，即𝑦236+𝑥24=1在第一象限的点，第7页，共15页联立两个方程，解得𝑃(√132,3√32)，所以|𝑂𝑃|=√134+274=√10．故选：D．求出P满足的轨迹方程，求出P的坐标，即可求解|𝑂𝑃|．本题考查圆锥曲线的综合应用，曲线的交点坐标以及距离公式的应用，是中档题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，𝑥=0时，不等式𝑎𝑏(−2𝑎−𝑏)⩾0恒成立，即𝑎𝑏(2𝑎+𝑏)⩽0，∵𝑎𝑏≠0，∴可得1𝑎+2𝑏⩽0，则𝑎,𝑏至少有一个是小于0的，(1)若𝑎0,𝑏0，(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)⩾0在𝑥⩾0时恒成立，符合题意；(2)若𝑎0,𝑏0，则2𝑎+𝑏𝑏，当𝑥∈[0,𝑎]时，(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)⩽0，不符合题意；(3)若𝑎0,𝑏0，则2𝑎+𝑏𝑏，当2𝑎+𝑏=𝑎时，(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)⩾0在𝑥⩾0时恒成立，符合题意．综合，𝑏0成立．故选：C．本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：取：𝑆={1,2，4}，则𝑇={2,4，8}，𝑆∪𝑇={1,2，4，8}，4个元素，排除C．𝑆={2,4，8}，