2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第4讲-直线、平面平等的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质1．以空间直线、平面位置关系的定义及四个公理为出发点认识和理解空间中的平行关系．2．理解直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理．3．理解并能证明直线和平面平行、平面和平面平行的性质定理．4．能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．直线与平面的位置关系在平面内无数个交点相交1个交点平行0个交点定义若一条直线和平面平行，则它们没有公共点判定定理1aα，b⊂α，且a∥b⇒a∥α判定定理2α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l直线与平面的位置关系相交无数个交点平行0个交点定义若两个平面平行，则它们没有公共点判定定理1a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β判定定理2a⊥α，a⊥β⇒α∥β性质定理1α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理2α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b(续表)1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有()CA．1条B．2条C．3条D．4条2．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()DA．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交3．下列命题中，正确命题的个数是()A①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．1个B．2个C．3个D．4个4．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是()DA．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β考点1直线与平面平行的判定与性质例1：(2013年新课标Ⅱ)如图8-4-1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)若AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C­A1DE的体积．图8-4-1图D36(1)证明：如图D36，连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD，而BC1⊄平面A1CD，故有BC1∥平面A1CD.(2)解：∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，∴CD＝AC·BCAB＝2.∵A1D＝A1A2＋AD2＝6，【规律方法】证明直线a与平面α平行，关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线.有中点的常作中位线.同理，利用勾股定理求得DE＝3，A1E＝3.再由勾股定理可得A1D2＋DE2＝A1E2.∴A1D⊥DE.∴S△A1DE＝12·A1D·DE＝322.∴VC­A1DE＝13·S△A1DE·CD＝1.【互动探究】1．如图8-4-2，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．图8-4-2解析：如图①，∵MN∥AC，NP∥AD，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ.∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M，P分别为棱的中点，知：Q为BD的14分点，矛盾，∴得不到AB∥平面MNP.如图③，∵BD与AC平行且相等，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD.又∵MP为棱的中点,∴MP∥CD.∴AB∥MP.从而可得AB∥平面MNP.如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴得不到AB∥平面MNP.答案：①③考点2平面与平面平行的判定与性质例2：(2013年江苏)如图8-4-3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图8-4-3证明：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．∵E，F分别是SA，SB的中点，∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理，FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，AF⊂平面SAB，且AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.【规律方法】证明平面与平面平行，就是在一个平面内找两条相交直线平行于另一个平面，从而将面面平行问题转化为线面平行问题.【互动探究】2．如图8-4-4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BB1D1D.图8-4-4证明：E，F分别为BC，DC的中点，EF为中位线，则EF∥BD.又EF⊄平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.连接SB，同理可证EG∥平面BB1D1D.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BB1D1D.考点3线面、面面平行的综合应用例3：已知有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.(1)(3)(2)图8-4-5证明：方法一：如图8­4­5(1)，连接AQ并延长交BC于G，连接EG，则AQQG＝DQQB.∵AP＝DQ，PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG.又PQ⊄平面CBE，EG⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.方法二：如图8­4­5(2)，分别过P，Q作PK∥AB，QH∥AB，则PK∥QH.连接KH，则PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，∴PK＝QH.∴四边形PQHK是平行四边形．∴PQ∥KH.又PQ⊄平面CBE，KH⊂平面CBE.∴PQ∥平面CBE.方法三：如图8­4­5(3)，过点P作PO∥EB，连接OQ，EPPA＝BOOA，EPPA＝BQQD⇒BOOA＝BQQD，则OQ∥AD∥BC.∴平面POQ∥平面CBE.又∵PQ⊄平面CBE，PQ⊂平面POQ，∴PQ∥平面CBE.【规律方法】证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，方法一是作三角形得到的；方法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH；方法三利用了面面平行的性质定理.【互动探究】3．(2014年辽宁)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是()BA．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故A错误；若m⊥α，n⊂α，由直线和平面垂直的定义知，m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，故D错误．●易错、易混、易漏●⊙立体几何中的探究性问题例题：(2014年四川)在如图8-4-6所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，则在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．图8-4-6正解：(1)∵四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.∵AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，∴AA1⊥平面ABC.∵直线BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，∴BC⊥平面ACC1A1.(2)如图8-4-7，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．图8-4-7由已知，O为AC1的中点．如图8-4-7，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线．∴MD12AC，OE12AC.∴MDOE，连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.∵直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使得直线DE∥平面A1MC.