第5讲空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.2.会推导空间两点间的距离公式.1.在x轴、y轴、z轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),__________.(0,0,c)2.在坐标平面xOy,xOz,yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),____________.(0,b,c)3.点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为_____________;点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c);点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c);点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,-c);点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,-b,c);点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a,b,c);点P(a,b,c)关于原点的对称点为__________________.(a,-b,-c)(-a,-b,-c)4.已知空间两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),则线段PQ的中点的坐标为_____________________.x1+x22,y1+y22,z1+z225.空间内两点间的距离公式已知空间两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),则两点间的距离为|PQ|=x1-x22+y1-y22+z1-z22.)C1.在空间直角坐标系中,点A(2,0,3)的位置是在(A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上2.点P(3,-2,1)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为()AA.(-3,-2,1)B.(-3,2,-1)C.(-3,-2,-1)D.(-3,2,1)3.已知空间直角坐标系中,A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长|AB|=()A.43B.23C.42D.324.已知A(-2,4,0),B(3,2,0),则线段AB的中点的坐标是____________.A12,3,0考点1对称点例1:在空间直角坐标系中,已知点P(4,3,-5),求点P关于各坐标轴及坐标平面的对称点.思维点拨:类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系.解:点P关于x轴的对称点是(4,-3,5);点P关于y轴的对称点是(-4,3,5);点P关于z轴的对称点是(-4,-3,-5);点P关于xOy坐标平面的对称点是(4,3,5);点P关于yOz坐标平面的对称点是(-4,3,-5);点P关于zOx坐标平面的对称点是(4,-3,-5);点P关于原点的对称点是(-4,-3,5).【规律方法】记忆方法:“关于谁对称则谁不变,其余相反”.【互动探究】1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),给出下列四条叙述:①点P关于x轴的对称点的坐标是(x,-y,z);②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x,-y,-z);③点P关于y轴的对称点的坐标是(x,-y,z);④点P关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z).其中正确的个数是()CA.3个B.2个C.1个D.0个考点2空间的中点公式例2:已知四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标.思维点拨:先求出AC的中点坐标,再求点D的坐标.解:∵平行四边形ABCD的对角线互相平分,∴AC的中点即为BD的中点.又AC的中点为O72,4,-1,设D(x,y,z),则72=x+22,4=-5+y2,-1=1+z2,∴x=5,y=13,z=-3.故D(5,13,-3).【规律方法】根据图形特征,利用点的对称性和中点坐标公式是解决有关中点问题的关键.)B2.点A(1,-3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为(A.(3,-1,5)B.(3,7,4)C.(0,-8,1)D.(7,3,1)【互动探究】考点3空间的距离公式解:(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,∴BE⊥平面ABCD,则AB,BE,BC两两垂直.例3:正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD和平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0a2).(1)求MN的长;(2)当a为何值时,MN的长最小?如图7-5-1,以B为坐标原点,以BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,过点M作MG⊥CB于G,作MH⊥AB于H.7-5-1∵CM=a,CA=2,由CMCA=MGAB,得MG=22a.∴CG=22a,BG=1-22a.则M22a,0,1-22a.同理,得N22a,22a,0.|MN|=22a-22a2+0-22a2+1-22a-02=a2-2a+1=a-222+12.【规律方法】首先证明AB,BE,BC两两垂直,然后以B为坐标原点,以BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,利用空间两点间的距离公式求出|MN|的值,然后利用二次函数求最值.(2)由(1)知,当a=22时,|MN|的长最小,最小值为22.此时M,N恰好为AC,BF的中点.【互动探究】3.已知点P在z轴上,且满足|OP|=1(O为坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离为________.解析:设点P的坐标为(0,0,z),由|OP|=1,得z2=|z|=1,故z=±1.当z=1时,点P的坐标为(0,0,1),|PA|=0-12+0-12+1-12=2;当z=-1时,点P的坐标为(0,0,-1),|PA|=0-12+0-12+-1-12=6.2或6考点4空间坐标方程例4:在空间直角坐标系中,y=a表示()A.y轴上的点B.过y轴的平面C.垂直于y轴的平面D.垂直于y轴的直线解析:y=a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合,所以y=a表示经过点(0,a,0),且垂直于y轴的平面.答案:C【规律方法】注意空间直角坐标系与平面直角坐标系的联系与区别,中点公式和距离公式与平面直角坐标系中的公式是一致的,而直线与曲线的方程与平面直角坐标系中的方程是有区别的.【互动探究】4.在空间直角坐标系中,方程y=x表示()CA.在坐标平面xOy中,第一、三象限的平分线B.平行于z轴的一条直线C.经过z轴的一个平面D.平行于z轴的一个平面