2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第六章-第1讲-不等式的概念与性质

第六章不等式第1讲不等式的概念与性质1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．1．比较原理两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a.a＞c＞(2)传递性：a＞b，b＞c⇒__________.(3)可加性：a＞b⇔a＋c____b＋c.移项法则：a＋b＞c⇔a＞c－b.推论：同向不等式可加：a＞b，c＞d⇒a＋c____b＋d.＞(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒________.推论1：同向(正)可乘：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac____bd.推论2：可乘方(正)：a＞b＞0⇒an____bn(n∈N*，n≥2)．ac＜bc＞＞＞(5)可开方(正)：a＞b＞0⇒na____nb(n∈N*，n≥2)．)1．a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是(A．b－a＞0DB．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞02．(2013年广东深圳二模)设0＜a＜b＜1，则下列不等式)D成立的是(A．a3b3B.1a1bC．ab1D．lg(b－a)0解析：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，所以A不正确；1a1b，所以B不正确；由指数函数的图象与性质可知：ab＜1，所以C不正确；由题意可知：b－a∈(0,1)，所以lg(b－a)＜0，所以D正确．3．(2012年广东汕头一模)如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系式为()DA．a2a－a2－aC．－aa2a－a2B．a2－aa－a2D．－aa2－a2a解析：(特殊值法)∵a∈R，且a2＋a0，可得－1a0.不妨令a＝－12，可得－a＝12，a2＝14，－a2＝－14，故有－aa2－a2a.故选D.4．若－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是__________．(－π，0)考点1不等式的基本性质例1：(1)设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b答案：B解析：方法一：已知0ab和aba＋b2，比较a与ab.∵a2－(ab)2＝a(a－b)0，∴aab.作差法：b－a＋b2＝b－a20，∴a＋b2b.综上所述，aaba＋b2b.方法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5.∴aaba＋b2b.(2)(2014年四川)若ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd答案：B解析：∵cd0，∴－c－d0，即－1d－1c0.又ab0，有－ad－bc0，即adbc.【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假.(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.判断一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，此时只能用所学知识严密证明.【互动探究】1．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：其中能成立的个数是()A．1个C．3个B．2个D．4个①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)．答案：C解析：∵a＞0＞b－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，∴①错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴a(－c)＞(－b)(－d)．∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0.∴②正确．∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，∴③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴④正确．故选C.考点2利用作差比较大小例2：在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b10，a3＝b30，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小．(1)a2与b2；(2)a5与b5.解：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即d＝a1(q2－1)2.又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.(1)∵a2－b2＝a1q－(a1＋d)＝a1q－a1(q2＋1)2＝－12a1(q－1)20，∴a2b2.(2)∵a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1q4－a1－2a1(q2－1)＝a1(q2－1)20，∴a5b5.【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号．作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的．常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等．总之，变形到能判断出差的符号为止．【互动探究】2．已知等比数列{an}的公比q0，其前n项和为Sn，则S4a5)与S5a4的大小关系是(A．S4a5S5a4C．S4a5＝S5a4B．S4a5S5a4D．不确定A解析：(1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a21＝－a210.(2)当q≠1，且q0时，S4a5－S5a4＝a1(1－q4)1－q·a1q4－a1(1－q5)1－q·a1q3＝a21q31－q[(1－q4)q－(1－q5)]＝a21q31－q(q－q5－1＋q5)＝－a21q30，则S4a5S5a4.故选A.考点3利用作商比较大小例3：已知在正项数列{an}中，a1＝6，点An(an，an＋1)在抛物线y2＝x＋1上；在数列{bn}中，点Bn(n，bn)在过点(0,1)，以方向向量为(1,2)的直线l上．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若f(n)＝an(n为奇数)，bn(n为偶数)，问:是否存在k∈N*,使f(k＋27)＝4f(k)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)对任意正整数n，不等式an＋11＋1b11＋1b2·…·1＋1bn－ann－2＋an≤0恒成立，求正数a的取值范围．解：(1)将点An(an，an＋1)代入y2＝x＋1中，得an＋1＝an＋1.∴an＋1－an＝d＝1.∴an＝a1＋(n－1)×1＝n＋5，即an＝n＋5.直线l：y＝2x＋1，∴bn＝2n＋1.(2)存在，理由如下：f(n)＝n＋5(n为奇数)，2n＋1(n为偶数)，当k为偶数时，k＋27为奇数．假设f(k＋27)＝4f(k)，∴k＋27＋5＝4(2k＋1)．∴k＝4.当k为奇数时，k＋27为偶数，∴2(k＋27)＋1＝4(k＋5)．∴k＝352(舍去)．综上所述，存在唯一的k＝4符合条件．(3)由an＋11＋1b11＋1b2·…·1＋1bn－ann－2＋an≤0，得a≤12n＋31＋1b11＋1b2·…·1＋1bn.记f(n)＝12n＋31＋1b11＋1b2·…·1＋1bn，则f(n＋1)＝12n＋51＋1b11＋1b2·…·1＋1bn1＋1bn＋1.∵fn＋1f(n)＝2n＋32n＋5·1＋1bn＋1＝2n＋32n＋5·2n＋42n＋3＝2n＋42n＋5·2n＋3＝4n2＋16n＋164n2＋16n＋151.∴f(n＋1)f(n)，即f(n)单调递增．∴f(n)min＝f(1)＝15·43＝4515.∴0a≤4515.【规律方法】第(2)小题要分k为奇数和偶数两种情况来讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证AB≥1.其步骤为：作商式、商式变形、判断商值与1的大小关系.指数不等式常用比商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若a＞1，且x＞0，则ax＞1等.【互动探究】3．比较1816与1618的大小．解：18161618＝1816161162＝98161216＝98216.∵982∈(0,1)，∴98216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.●易错、易混、易漏●⊙忽略考虑等号能否同时成立例题：设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．正解：方法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)．即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.则有m＋n＝4，n－m＝－2.解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.方法二：由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得a＝12[f(－1)＋f(1)]，b＝12[f(1)－f(－1)].∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，∴5≤f(－2)≤10.图6-1-1方法三：由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4确定的平面区域如图6­1­1.【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题，可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法，要特别注意1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4中的a，b不是独立的，而是相互制约的，因此无论用哪种方法都必须将a－b，a＋b当作一个整体来看待．当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5.当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10.∴5≤f(－2)≤10.