2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第8讲-抛物线

第8讲抛物线1．了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．理解数形结合的思想．1．抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线l(定点不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的______．准线标准方程图形焦点2．抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2pyFp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2标准方程准线范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1（续表）y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2pyx＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p21．(2013年上海)抛物线y2＝8x的准线方程是___________．p＝________；准线方程为________．x＝－22x＝－1解析：p2＝1，p＝2.2．(2013年北京)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则3．(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛)物线的标准方程是(A．x2＝－12yC．y2＝－12xB．x2＝12yD．y2＝12x4．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()CA．y2＝－8xC．y2＝8xB．y2＝－4xD．y2＝4x解析：∵p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.A考点1抛物线的标准方程例1：(1)已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点距离为5，则抛物线的标准方程为()A．y2＝8xC．y2＝4xB．y2＝－8xD．y2＝－4x解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点为P(－3，m)，显然开口向左，设y2＝－2px，由点P(－3，m)到焦点距离为5，所以点P(－3，m)到准线距离也为5，即3＋p2＝5，p＝4，故标准方程为y2＝－8x.答案：B(2)焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为________________，对应的准线方程为________________．答案：y2＝16x(或x2＝－8y)x＝－4(或y＝2)解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4或y＝2.【规律方法】第(1)题利用抛物线的定义直接得出p的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．【互动探究】A1．(2014年新课标Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为x＝－14，则有|AF|＝x0＋14，即54x0＝x0＋14，∴x0＝1.考点2抛物线的几何性质例2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析：由抛物线的定义知，点P到该抛物线准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和．显然，当P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得A.172B．3C.5D.92最小值，最小值为0－122＋2－02＝172.答案：A【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直三点共线时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线的定义，即点P到该抛物线准线的距离等于点P到其焦点的距离，进行转换再求解.【互动探究】2.已知直线l1:4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1,抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716A解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2.故选A.考点3直线与抛物线的位置关系例3：(2015年广东惠州三模)已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1.(或者用向量：OP→·OQ→＝x2－2y＝0，且x≠0得出)当x≠0时，得yx·－2x＝－1.化简，得x2＝2y；当x＝0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x≠0.∴曲线C的方程为x2＝2y(x≠0)．(2)方法一：∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y＝kx＋b，由y＝kx＋b，x2＝2y，得x2－2kx－2b＝0.∵直线l2与曲线C相切，∴Δ＝4k2＋8b＝0，即b＝－k22.∴直线l2的方程为2kx－2y－k2＝0.∴点(0,2)到直线l2的距离d＝|－2＋b|k2＋1＝12·k2＋4k2＋1＝12k2＋1＋3k2＋1≥12×2k2＋1·3k2＋1＝3.当且仅当k2＋1＝3k2＋1，即k＝±2时，等号成立．此时b＝－1.∴直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0.方法二：由x2＝2y，得y′＝x.∵直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x1，y1)，其中y1＝12x21，∴直线l2的方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简，得x1x－y－12x21＝0.点(0,2)到直线l2的距离d＝－2－12x21x21＋1＝12·x21＋4x21＋1＝12x21＋1＋3x21＋1≥12×2x21＋1·3x21＋1＝3.当且仅当x21＋1＝3x21＋1，即x1＝±2时，等号成立．∴直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0.方法三：由x2＝2y，得y′＝x.∵直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x2，y2)，其中y2＝12x220，∴直线l2的方程为y－y2＝x2(x－x2)，化简，得x2x－y－y2＝0.点(0,2)到直线l2的距离d＝－2－y2x22＋1＝y2＋22y2＋1＝122y2＋1＋32y2＋1≥12×22y2＋1·32y2＋1＝3.当且仅当2y2＋1＝32y2＋1，即y2＝1时，等号成立，此时x2＝±2.∴直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0.【互动探究】3．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为__________．3解析：由y2＝4x可求得焦点坐标F(1,0)，∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率为k＝tan60°＝3.利用点斜式得直线方程为y＝3x－3，将直线和曲线联立方程组，得y＝3x－3，y2＝4x⇒A(3,23)，B13，－233.因此S△OAF＝12·OF·yA＝12×1×23＝3.●思想与方法●⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B，P在准线l的射影分别是A1，B1，P1.在以下结论中：①FA1⊥FB1；②AP1⊥BP1；③BP1⊥FB1；④AP1⊥FA1.其中,正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①如图7-8-1(1)，AA1＝AF，∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥F1F，∠AA1F＝∠A1FF1，则∠AFA1＝∠A1FF1.同理∠BFB1＝∠B1FF1，则∠A1FB1＝90°，故FA1⊥FB1.②如图7­8­1(2)，PP1＝AA1＋BB12＝AF＋BF2＝AB2，即△AP1B为直角三角形，故AP1⊥BP1.③如图7­8­1(3)，BB1＝BF，即△BB1F为等腰三角形，PP1＝PB，∠PP1B＝∠PBP1.又BB1∥P1P，∠PP1B＝∠B1BP1，则∠PBP1＝∠B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1⊥FB1.④如图7­8­1(4)，同③有AP1⊥FA1.综上所述，①②③④都正确．故选D.(1)(3)(2)(4)图7-8-1答案：D【规律方法】利用抛物线的定义“P到该抛物线准线的距离等于点P到其焦点的距离”能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.