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第8讲随机抽样1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．1．简单随机抽样抽签法(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：________和随机数法．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．l＋2k(1)编号：先将总体的N个个体编号；(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是()CA．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()AA．3,2B．2,3C．2,30D．30,23．(2013年广东揭阳一模)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为()A．15人B．20人C．25人D．30人B4．问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是()CA．①Ⅰ，②ⅡC．①Ⅱ，②ⅠB．①Ⅲ，②ⅠD．①Ⅲ，②Ⅱ考点1简单随机抽样例1：(1)(2014年四川，由人教版必修3P100-1改编)在“世界读书日”前夕，为了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体C．样本的容量B．个体D．从总体中抽取的一个样本解析：为了解5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．样本容量为200，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．答案：A(2)(2014年湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2p3C．p1＝p3p2B．p2＝p3p1D．p1＝p2＝p3解析：根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3.故选D.答案：D【规律方法】抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，不论是哪种抽样方法，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率是相等的．本题考查分层抽样，多年来，全国各地对抽样方法的考查一直是以分层抽样为最主要的考查对象，但是2013年江西卷考到了随机数表(见互动探究1)，应该引起我们的警觉．【互动探究】1．(2013年江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816320465720802923449356314820007024369362348699728693801987481A.08C．02B．07D．01解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的依次为：02,14,07,01，故第5个数为01.答案：D考点2系统抽样例2：(1)(2014年广东)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50C．25B．40D．20解析：由题意知，分段间隔为100040＝25.故选C.答案：C(2)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为(A．26,16,8C．25,16,9)B．25,17,8D．24,17,912，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8(人)需从第Ⅲ营区抽取．解析：根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为60050＝答案：B【规律方法】当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样．系统抽样也叫等距抽样．＝【互动探究】2．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为251002D．都相等，且为140解析：注意随机抽样，每个个体被抽到的概率都一样．此题中，每人入选的概率为502520041002.故选C.C考点3分层抽样例3：(1)(2014年广东)已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图981①②，为了解该地区中小学学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()①②图981A．200,20B．100,20C．200,10D．100,10解析：由题意，样本容量为(3500＋4500＋2000)×2%＝200，其中高中生人数为2000×2%＝40，高中生的近视人数为40×50%＝20.故选A.答案：A(2)(2014年重庆)某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250解析：n＝(3500＋1500)×703500＝100.故选A.答案：A【规律方法】当总体由差异明显的几个部分组成，按某种特征抽样时，将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．在三种基本抽样中，分层抽样在高考中考查得最多，主要考查比例的运算．【互动探究】3．(2014年上海)某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生人数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生人数为________．7020800＝解析：设高一、高二抽取的人数分别为x，y，则x＋y，x＋y＝70.1600＋1200甲高中乙高中丙高中女生153xy男生9790z●难点突破●⊙抽样方式与概率的结合例题：(2015年广东惠州三模)惠州市某县区甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人,各学校男、女生人数如下表：已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2.(1)求表中x的值；(2)惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了随机数表中第7行至第9行)844263011326175353163321315724550688770474476721763350268392591692753862982150717512867358074439134278641607825207443815032442997931(3)已知y≥145，z≥145，求丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率．解：(1)由x800＝0.2，得x＝160，即表中x的值为160.(2)依题意，最先检测的3个人的编号依次为165,538,629.(3)设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为A，其中女生、男生数记为(y，z)．由(1)知，x＝160，则y＋z＝300，且y≥145，z≥145，y，z∈N，∴满足条件的(y，z)有(145,155)，(146,154)，(147,153)，(148,152),(149,151)，(150,150),(151,149)，(152,148),(153,147)，(154,146)，(155,145)，共11组，且每组出现的可能性相同．其中事件A包含的基本事件(y，z)，即满足yz的有(151,149)，(152,148)，(153,147)，(154,146)，(155,145)，共5组，∴丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率P(A)＝511.