2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第7讲-双曲线

第7讲双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.ac(1)当________时，点M的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点M的轨迹是两条射线；(3)当ac时，点M不存在．标准方程图形2．双曲线的标准方程和几何性质x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)标准方程性质范围x≥____或x≤____，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率（续表）x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)y＝±baxy＝±abxe＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a－a标准方程性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)（续表）a2＋b2x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)3．等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为2.1．(2014年四川)双曲线x24－y2＝1的离心率等于____．52解析：e＝ca＝4＋12＝52.2．(2013年陕西)双曲线x216－y2m＝1的离心率为54，则m等于________．解析：因为离心率为54，所以4c＝5a，又因为a2＝16，b2＝m，且c2＝a2＋b2，所以经计算可知答案为9.9C3．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D．(3，0)4．(2013年江苏)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为____________．y＝±34x考点1求双曲线的标准方程例1：(1)(2014年江西)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1答案：A解析：因为C：x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±bax，所以A(a，b)或A(a，－b)．因此OA＝c＝4，从而△OAC为正三角形，即tan60°＝ba，a＝2，b＝23，双曲线C的方程为x24－y212＝1.(2)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(6,82)的双曲线方程为__________．解析：因为与x29－y216＝1有相同渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．由于点(6,82)在双曲线上，所以有369－12816＝λ.所以λ＝－4.故所求双曲线方程为y264－x236＝1.答案：y264－x236＝1【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线系方程为a2x2±b2y2＝λλ≠0.与双曲线22xa－22yb＝1共渐近线的双曲线系方程为22xa－22yb＝λλ≠0.【互动探究】B1．(2013年广东)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则双曲线C的方程是()A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1解析：因为e＝ca＝32，所以a＝2，b＝5.故选B.考点2双曲线的几何性质答案：D例2：(1)(2014年新课标Ⅰ)已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1解析：双曲线的离心率为e＝a2＋3a＝2，解得a＝1.答案：C(2)(2013年新课标Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x解析：e＝ca＝52，设a＝2m，c＝5m，则b＝m.根据渐近线公式可知答案选C.【规律方法】离心率是双曲线几何性质中的一个重点问题.求离心率的常用方法有两种:①求得a,c的值,直接代入公式e=ca求得;②列出关于a,b,c的齐次式(或不等式),利用b2=c2-a2消去b,转化成e的方程(或不等式)求解.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”即可,即方程22xa－22yb=0就是双曲线22xa－22yb=1的两条渐近线方程.【互动探究】C2．(2015年广东深圳第一次调研)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是()A.2－1B.5＋12C.2＋1D.5－1考点3直线与双曲线的位置关系例3：直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－20，－2kk2－20，2k2－20.解得k的取值范围是－2k－2.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式，得x1＋x2＝2k2－k2，x2·x2＝2k2－2.②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB，得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理，得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式化简，得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知当k＝－6＋65时，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.【规律方法】当直线与双曲线的渐近线平行时(此时二次项的系数为零)，直线与双曲线只有一个交点，因此利用根的判别式判断直线与双曲线的交点的个数时，要特别注意二次项的系数．直线与双曲线的右支交于不同的两点即方程有两正根；直线与双曲线的左支交于不同的两点即方程有两负根；直线与双曲线的左、右支交于不同的两点即方程有一正一负根．【互动探究】3．设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：∵双曲线的方程为x29－y216＝1,∴渐近线方程为y＝±43x.∵A(3,0)，F(5,0),∴直线BF的方程为y＝±43(x－5),代入双曲线方程，得x29－116×169(x2－10x＋25)＝1.解得x＝175，∴y＝±3215，∴B175，－3215或B175，3215.∴S△AFB＝12×(5－3)×3215＝3215.3215●易错、易混、易漏●⊙忽视直线与双曲线相交的判断致误解：方法一：设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2),则x21－y212＝1，x22－y222＝1⇒(x1－x2)(x1＋x2)=12(y1-y2)·(y1+y2)．例题：(由人教版选修2­1P62­4改编)已知双曲线x2－y22＝1，问过点A(1,1)是否存在直线l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．因为A(1,1)为PQ的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.若x1＝x2，则直线l的方程为x＝1，显然不符合题意；x1≠x2，则直线l的斜率k＝y2－y1x2－x1＝2，所以符合条件的直线l存在，其方程为2x－y－1＝0.又由y＝2x－1，x2－y22＝1，得2x2－4x＋3＝0.再由Δ＝16－24＝－80，所以所求直线不存在．方法二：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在双曲线上，且线段PQ的中点为(1,1)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点A的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.由y＝kx＋1－k，x2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①所以x0＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①化简后为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－80，方程①没有实数解．所以不能作一条直线l与双曲线x2－y22＝1交于P，Q两点，且点A(1,1)是线段PQ的中点．【失误与防范】(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)思考两个问题：①如将本题中点P的坐标改为(1,2)，看看结论怎样？②中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦(过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点)一定存在，但在双曲线中则不能确定，这是因为过椭圆内一点的任一直线与椭圆肯定相交，而点在双曲线内外在中学阶段很难界定．因此直线与双曲线的位置关系必须利用根的判别式检验．