2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第1讲-函数与映射的概念

第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念1．了解构成函数的要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．了解映射的概念．1．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，通常记为f：A→B.2．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：定义域值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的________；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数y＝f(x)的值域．(3)函数的三个要素：定义域、______和对应关系f.A．[2，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)B．[2,3)D．[2,3)∪(3，＋∞)1．(2013年广东茂名一模)函数f(x)＝x－2＋1x－3的定义域是()D解析：由题意，得x≥2，x≠3.故选D.3．(2013年江西)函数y＝xln(1－x)的定义域为(A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]2．下列函数中与函数y＝x相同的是()A．y＝(x)2B．y＝3x3C．y＝x2D．y＝x2xB)解析：由题意，得自变量满足x≥0，1－x0.解得0≤x1，即函数y＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．故选B.B4．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图2-1-1所示的四个图象，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是________(填序号)．图2-1-1②③考点1有关映射与函数的概念例1：若集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}是一个映射，对应关系为f：x→y＝3x＋1，则自然数a＝____，自然数k＝________；集合A＝___________，B＝__________.∵a∈N，∴方程组(1)无解．解方程组(2)，得a＝2或a＝－5(舍去)．则3k＋1＝16,3k＝15，k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．答案：25{1,2,3,5}{4,7,10,16}(1)a4＝10，a2＋3a＝3k＋1，或(2)a2＋3a＝10，a4＝3k＋1.解析：令y＝f(x)，f(1)＝3×1＋1＝4，f(2)＝3×2＋1＝7，f(3)＝3×3＋1＝10，f(k)＝3k＋1.由映射的定义知，【规律方法】理解映射的概念，应注意以下几点：①集合A，B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；③集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；④集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；⑤不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．【互动探究】1．给定集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤4}，下列从P到Q的对应关系f中，不是映射的是()CA．f：x→y＝2x52B．f：x→y＝x2D．f：x→y＝2x解析：当x＝2时，52x＝5，集合Q中没有元素与之对应．故不是映射．C．f：x→y＝x考点2判断两个函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)＝x2，g(x)＝3x3；(2)f(x)＝|x|x，g(x)＝1x≥0，－1x0；(3)f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝2n－1x2n－1，n∈N*；(4)f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x2＋x；(5)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.解：(1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的对应关系不相同，∴它们不是同一个函数．(2)由于函数f(x)＝|x|x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝1x≥0，－1x0的定义域为R，∴它们不是同一个函数．(5)∵函数的定义域和对应关系都相同，∴它们是同一个函数．(3)∵当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝2n－1x2n－1＝x.它们的定义域、对应关系都相同，∴它们是同一个函数．(4)∵函数f(x)＝x·x＋1的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2＋x的定义域为{x|x≥0，或x≤－1}，它们的定义域不同，∴它们不是同一个函数．【规律方法】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一个函数．第(5)小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透．在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如f(x)＝x2＋1，f(t)＝t2＋1，f(u＋1)＝(u＋1)2＋1都可视为同一个函数．【互动探究】)2．下列四组函数中，表示同一个函数的是(A．y＝x－1与y＝x－12B．y＝x－1与y＝x－1x－1C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lgx100D考点3求函数的定义域A．(0,2)C．(2，＋∞)B．(0,2]D．[2，＋∞)例3：(2014年山东)函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()解析：由已知，得log2x－10，log2x1，解得x2.答案：C【规律方法】(1)求定义域的一般步骤：①写出使得函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数的定义域．(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且不等于1.【互动探究】A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．[－1,1)∪(1，＋∞)3．(2013年广东)函数f(x)＝lgx＋1x－1的定义域是()C解析：x＋10，x－1≠0，即x－1，且x≠1.故选C.4．若函数f(x)＝1x＋1，则函数y＝f[f(x)]的定义域为_______________________．{x|x∈R，x≠－1，且x≠－2}解析：∵f(x)＝1x＋1，∴f[f(x)]＝11x＋1＋1.要使函数有意义，应满足x＋1≠0，1x＋1＋1≠0，即x≠－1，且x≠－2.故函数的定义域是{x|x∈R，x≠－1，且x≠－2}．●易错、易混、易漏●⊙对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则f(x－1)的定义域为________；(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，则f(x)的定义域为________，f(2x＋1)的定义域为________；(3)若函数f(x)的值域为[2,3]，则f(x－1)的值域为________，f(x)－1的值域为________．正解：(1)若函数f(x)的定义域为[2,3]，则对f(x－1)，有2≤x－1≤3.解得3≤x≤4，即f(x－1)的定义域为[3,4]．(2)若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，有1≤x－1≤2，则f(x)的定义域为[1,2]．而对f(2x＋1)，有1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12.即f(2x＋1)的定义域为0，12.(3)f(x－1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，不改变值域.f(x)－1的图象是将f(x)的图象向下平移1个单位长度得到的.故f(x－1)的值域为[2,3]，f(x)－1的值域为[1,2]．答案：(1)[3,4](2)[1,2]0，12(3)[2,3][1,2]【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：①已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[u(x)]的定义域，只需求不等式a≤u(x)≤b的解集即可；②已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，必须先利用第(2)小题的方法求f(x)的定义域，然后利用第(1)小题的方法求解．