2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第四章-第3讲-平面向量的应用举例

第3讲平面向量的应用举例1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ为实数．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔________________.(3)求夹角问题，利用夹角公式：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．x1x2＋y1y2＝02．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．(2013年广东茂名二模)若向量a，b，c满足a∥b，且b·c)＝0，则(2a＋b)·c＝(A．4C．2B．3D．0解析：a∥b，且b·c＝0，则b⊥c，a⊥c，即a·c＝0，(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝0.D2．(2013年北京海滨一模)若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b＝()AA．－12B.12C．－1D．1解析：|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＋2a·b＝1，则a·b＝－12.A．－2C．1B．－1D．23．已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)．若AB→⊥a，则实数k＝()B4．(2013年北京延庆一模)已知|a|＝1，|b|＝2，向量a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2×1×2×12＝7，|a＋b|＝7.7考点1平面向量与三角函数的综合应用例1：(2014年广东汕头二模)设平面向量a＝(cosx，sinx)，b＝32，12，函数f(x)＝a·b＋1.(1)求fπ2的值；(2)当f(α)＝95，且π6α2π3时，求sin2α＋2π3的值．解：(1)依题意，得f(x)＝(cosx，sinx)·32，12＋1＝32cosx＋12sinx＋1＝sinx＋π3＋1，则fπ2＝sin5π6＋1＝12＋1＝32.(2)由f(α)＝sinα＋π3＋1＝95，得sinα＋π3＝45.∵π6α2π3，∴π2α＋π3π.∴cosα＋π3＝－1－452＝－35.∴sin2α＋2π3＝sin2α＋π3＝2sinα＋π3cosα＋π3＝2×45×－35＝－2425.【规律方法】以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质及三角恒等变换问题是高考中常见的考查形式，向量仅仅作为一个工具提供某种条件；解题时一般根据向量的模|a|＝22xy、数量积a·b＝x1x2＋y1y2、平行与垂直的条件、夹角公式cos||||abab等脱去向量外衣，将向量问题等价转化为三角函数问题，再应用三角函数的相关知识解答.【互动探究】1．(2013年江苏)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解：(1)∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.又∵a2＝|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝|b|2＝cos2β＋sin2β＝1，∴2－2ab＝2.∴ab＝0.∴a⊥b.(2)∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1),∴cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，即cosα＝－cosβ，①sinα＝1－sinβ.②①②两边分别平方再相加，得1＝2－2sinβ.∴sinβ＝12.∴sinα＝12.∵0βαπ，∴α＝56π，β＝16π.考点2平面向量与平面几何的综合应用例2：(2013年天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为_____．思维点拨：本题的关键就是如何将AC→，BE→转换成AB→，AD→.因为|AD→|＝1，AB→与AD→的夹角为60°，最终只含|AB→|为所求，解方程即可．解析：AC→·BE→＝(AB→＋AD→)·(BC→＋CE→)＝(AB→＋AD→)·AD→－12AB→＝1，即12AB→·AD→－12AB→2＋AD→2＝1.∴12|AB→|cos60°－12AB→2＋1＝1，12|AB→|2－14|AB→|＝0.解得|AB→|＝12，即AB＝12.答案：12【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题．CA，AB的中点，则EB＋FC＝(【互动探究】2．(2014年新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC三边BC，→→)AA.AD→B.12AD→C.12BC→D.BC→解析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算，得在△BEF中，EB→＝EF→＋FB→＝EF→＋12AB→.同理，FC→＝FE→＋EC→＝FE→＋12AC→，则EB→＋FC→＝(EF→＋12AB→)＋(FE→＋12AC→)＝12AB→＋12AC→＝12(AB→＋AC→)＝AD→.考点3平面向量与解析几何的综合应用例3：已知点C的坐标为(0,1)，A，B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且OA→·OB→＝0.(1)求证：AC→∥AB→；(2)若AM→＝λMB→(λ∈R),且OM→·AB→＝0,试求点M的轨迹方程．解：设A(x1，x21)，B(x2，x22)，x1≠0，x2≠0，x1≠x2，∵OA→·OB→＝0，∴x1x2＋x21x22＝0.又x1≠0，x2≠0，∴x1x2＝－1.(1)证明：方法一：kAC＝1－x21－x1＝－1x1＋x1，同理，有kBC＝－1x2＋x2.∵x1x2＝－1，∴kAC＝kBC.∴A，B，C三点共线，即AC→∥AB→.方法二：∵AC→＝(－x1,1－x21)，BC→＝(－x2,1－x22)，∴(－x1)(1－x22)－(－x2)(1－x21)＝(x2－x1)＋x1x2(x2－x1)＝(x2－x1)(1＋x1x2)＝0.∴AC→∥BC→，即AC→∥AB→.【规律方法】在平面向量与平面解析几何整合的问题中，难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题；破解难点的方法是先根据平面向量知识弄清向量表述的解析几何问题的几何意义，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决．(2)∵AM→＝λMB→，∴A，M，B三点共线．又∵点C在AB上，OM→·AB→＝0，∴OM⊥AB，∠OMC＝90°.故点M在以OC为直径的圆上运动，其轨迹方程为x2＋y－122＝14(y≠0)．【互动探究】3．已知曲线Γ上任意一点M到两个定点F1(－3，0)和F2(3，0)的距离之和为4.(1)求曲线Γ的方程；(2)设过(0，－2)的直线l与曲线Γ交于C，D两点，且OC→·OD→＝0(O为坐标原点)，求直线l的方程．解：(1)根据椭圆的定义知，动点M的轨迹为椭圆，其中a＝2，c＝3，则b＝a2－c2＝1.∴曲线Γ的轨迹方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－2，且C(x1，y1)，D(x2，y2)．∵OC→·OD→＝0，∴x1x2＋y1y2＝0.∵y1＝kx1－2，y2＝kx2－2，∴y1y2＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4.∴(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝0.①由方程组x24＋y2＝1，y＝kx－2，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.则x1＋x2＝16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2.代入①，得(1＋k2)·121＋4k2－2k·16k1＋4k2＋4＝0，即k2＝4，解得k＝2或k＝－2.∴直线l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2.