2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第5讲-指数式与指数函数

第5讲指数式与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．1．根式(1)根式的概念：一般地，如果xn＝a，那么x就叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根记作na；②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，a的n次方根可记作________；③(na)n＝a；④当n为奇数时，nan＝________，当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0，－aa0；⑤0的任何次方根仍是0，记作n0＝0；⑥负数没有偶次方根．a±na(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．(2)正数的负分数指数幂的意义：amn＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．指数函数图象3．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝__________(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝__________(a0，b0，r∈Q)．4．指数函数的图象与性质ar＋sarbry＝ax(a1)y＝ax(0a1)指数函数定义域RR值域(0，＋∞)(0，＋∞)定点过定点(0,1)过定点________单调性在R上是增函数在R上是________性质当x＞0时，y＞1；当x＜0时，________当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，________(续表)(0,1)减函数0＜y＜1y＞1y＝ax(a1)y＝ax(0a1)1．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)2．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．－x＝(－x)12(x0)B.26y＝y13(y0)C．x34＝341x(x0)D．x13＝－3x(x≠0))CA则m，n的大小关系为________．3．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，mn4．(2013年上海)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为_________.解析：由93x－1＋1＝3x，得(3x)2－2×3x－8＝0，即(3x－4)(3x＋2)＝0.∴3x＝4(3x＝－2，舍去)．∴x＝log34.x＝log34考点1指数幂运算例1：计算：(1)1.5－13×076＋80.25×42＋(32×3)6－2323；(2)21111332265····ababab.思维点拨：根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算．解：(1)原式＝1323×1＋1342×214＋(213×312)6－1323＝2＋4×27＝110.(2)原式＝111133221556ababab＝a111326·b115236＝a0b0＝1.【互动探究】－23【规律方法】由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将根式化成指数式的形式，依据为mna＝nma，注意结果不要同时含有根号和分数指数幂.1．若x0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x12(x－x12)＝_______.考点2指数函数的图象A．1个B．2个C．3个D．4个例2：已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝13x，y＝12x的图象，如图D1.答案：B当x0时，若12a＝13b，则ab0，②成立；当x0时，若12a＝13b，则0ba，①成立；当x＝0时，若12a＝13b，则a＝b＝0，⑤成立．故③④不成立．故选B.图D1【规律方法】实数a，b满足等式12a＝13b，就是要判断在同一坐标系中函数y＝13x，y＝12x的函数值什么时候相等，利用两个函数的图象与直线y＝m的交点来判断.【互动探究】ABCD2．函数f(x)＝xax|x|(0a1)的图象的大致形状是()D3．(2013年广东珠海二模)已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b＝0.其中有可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：如图D2，①②⑤正确．故选C.图D2C考点3指数函数的性质及应用例3：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在定义域R上单调递增，求a的取值范围．当a＞0时，f(x)的单调递增区间为[lna，＋∞)．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有ex≥elna，即x≥lna.综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a0.当a＝0时，f′(x)＝ex在R上f′(x)＞0恒成立．故当a≤0时，f(x)在定义域R上单调递增．【规律方法】(1)通过f′(x)≥0求单调递增区间．(2)先转化为恒成立问题，再求a的取值范围．【互动探究】4．若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，则其在[－1,2]上的最小值为________．或11216解析：当a1时，函数f(x)＝ax单调递增，则最大值为a2＝4，a＝2，最小值为a－1＝12；若0a1，函数f(x)＝ax单调递减，则最大值为a－1＝4，a＝14，最小值为a2＝116.●思想与方法●⊙分类讨论与数形结合思想的应用例题：(1)函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a的值为________．解析：当0a1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减，∴a－a2＝a3，∴a＝23；当a1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递增，∴a2－a＝a3，∴a＝43.答案：43或23(2)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a0，且a≠1)有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D.0，12解析：当a1时，如图2­5­1(1)为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然无两个交点；当0a1时，如图2­5­1(2)，要使y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，应有2a1，∴0a12.答案：D图2-5-1【规律方法】1在指数函数解析式中，必须时刻注意底数a0且a≠1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应运用分类讨论的数学思想，分a1和0a1两种情况进行讨论，以便确定其性质.2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，运用数形结合的思想求解.画指数函数y＝axa0，且a≠1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，1，再利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其他图象.11,a，