2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第2讲-函数的表示法

第2讲函数的表示法1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的三种表示法(1)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．(2)列表法：就是列出表格表示两个变量的函数关系．(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式表示．2．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示的函数称为分段函数．分段函数的对应关系为一整体．1．若f(x)＝x＋1，则f(3)＝()A．2B．4C．22D．102．若函数f(x)＝x2－1x2＋1，则212ff＝()A．1B．－1C.35D．－35AB3．设函数f(x)＝1－x2x≤1，x2＋x－2x1，则)2(1ff＝()A.1516B．－2716C.89D．18A4．(2013年湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间加快速度行驶．下列图象中与以上事件吻合得最好的图象是()ABCD答案：C考点1求函数值例1：(1)(2014年上海)设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|.若f(2)＝1，则f(1)＝______.解析：由题意，得f(2)＝1＋|4－a|＝1，则a＝4，所以f(1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.答案：3(2)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9【规律方法】第1小题由f2＝1求出a，然后将x＝1代入求出f1；第2小题函数fx＝x3cosx＋1为非奇非偶函数，但x3cosx为奇函数，可以将a3cosa整体代入.解析：f(a)＝a3cosa＋1＝11，即a3cosa＝10，则f(－a)＝【互动探究】1．(2013年浙江)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝____________.10解析：若f(a)＝3，即a－1＝3，a－1＝9，a＝10.考点2分段函数例2：(1)(2014年江西)已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x0，(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.14B.12C．1D．2答案：A解析：f[f(－1)]＝f(2)＝a×22＝4a＝1，a＝14.A．(－3,1)∪(3，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)(2)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)3的解集是()解得－3x1或x3.∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.解析：原不等式可化为x≥0，x2－4x＋63，或x0，x＋63，答案：A【规律方法】(1)分段函数求值时，应先判断自变量在哪一段内，然后代入相应的解析式求解．若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，并注意检验该自变量的值是否在允许值范围内，有时也可以先由函数值判断自变量的可能取值范围，再列方程或不等式求解．(2)分段函数是一个函数,值域是各段函数取值范围的并集．(3)分段函数解不等式应分段求解．【互动探究】)的值为(A．1C．4B．2D．4或12．已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0.若f(1)＋f(a)＝2，则a的解析：∵f(1)＝0，∴f(a)＝2,∴log2a＝2(a0)或2a＝2(a≤0)．解得a＝4或a＝1(舍去)．故选C.C3．(2015年广东深圳一模)已知函数f(x)＝x2－3，x0，3－x2，x0，则f(2015)＋f(－2015)＝_____.0考点3求函数的解析式例3：(1)已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的表达式；(2)已知f(x)为一次函数,如果f[f(x)]＝4x－1,求f(x)的表达式；(3)已知f(x)＋2fx1＝2x＋1，求f(x)的表达式．解：(1)方法一：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)．可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t.故f(x)＝x2－2x.方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1.代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x.(2)设f(x)＝kx＋b，k≠0，则f[f(x)]＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.由于该函数与y＝4x－1是同一个函数，∴k2＝4，且kb＋b＝－1.∴k＝±2.当k＝2时，b＝－13；当k＝－2时，b＝1.∴f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.(3)∵f(x)＋2f1x＝2x＋1，①用1x代替上式中的x，得f1x＋2f(x)＝2x＋1.②∴由①－②×2，得－3f(x)＝2x＋1－4x－2，即f(x)＝4＋x－2x23x.【规律方法】(1)换元法：若已知f［g(x)］的表达式,求f(x)的解析式,通常是令g(x)=t,从中解出x=φ(t),再将g(x)，x代入已知解析式求得f(t)的解析式,即得函数f(x)的解析式,这种方法叫做换元法,需注意新设变量t的范围(2)待定系数法：若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数．(3)构造方程组法：若所给解析式中含有f(x),1fx或f(x)，f(－x)等形式,可构造另一个方程,通过解方程组得到f(x)．【互动探究】4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.ex＋e－x2C.e－x－ex2D.ex－e－x2D解析：fx＋gx＝ex，f－x＋g－x＝e－x，即fx＋gx＝ex，fx－gx＝e－x，解得g(x)＝ex－e－x2.●难点突破●⊙函数中的信息给予题例题：符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]．给出下列四个命题：①函数f(x)的定义域是R，值域为[0,1]；③函数f(x)是周期函数；④函数f(x)是增函数．②方程f(x)＝12有无数个解；其中正确命题的序号有()A．①④B．③④C．②③D．②④答案：C解析：由函数f(x)＝x－[x]的定义知，f(x)的定义域是R，但0≤x－[x]1，故f(x)的值域为[0,1)，故①错误；∵f(x)＝x－[x]＝12，∴x＝[x]＋12.∴x＝1.5,2.5,3.5，…，应为无数多个，故②正确；∵f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为1的周期函数，故③正确；∵当x取整数时，都有x－[x]＝0，∴函数f(x)不是增函数，故④错误．故选C.