【高考复习方案】专题6-数学思想方法-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

第16讲函数与方程思想、数形结合思想第17讲分类与整合思想、化归与转化思想专题六数学思想方法第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考返回目录核心知识聚焦1．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝①________．[答案]6⇒函数与方程思想关键词：方程思想、函数思想，如①②③.主干知识[解析](x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值是Cm2m，即a＝Cm2m；(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值是Cm2m＋1，即b＝Cm2m＋1.因为13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，解得m＝6.第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考核心知识聚焦2.[2013·安徽卷改编]设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a②9＝_____________．[答案]－6[解析]设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.由S8＝4a3得，8a1＋8×72d＝4×(a1＋2d)．由a7＝－2得a1＋6d＝－2，所以a1＝10，d＝－2，所以a9＝a1＋8d＝10－16＝－6.返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考3.[2013·浙江卷]设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值③等于________．[答案]2[解析]|x||b|＝|x|2|b|2＝x2x2e21＋2xye1·e2＋y2e22＝x2x2＋2xy×32＋y2＝11＋3yx＋yx2＝1yx＋322＋14≤114＝2.返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考4.[2013·天津卷改编]函数f(x)＝2xlog0.5x－1的零点个数④为________．[答案]2⇒数形结合思想关键词：数形结合，如④⑤⑥.主干知识返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想[解析]函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即为2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝12x的解，设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，此时作出两函数的图像(如图所示)．由图像可知，两个函数的图像共有2个交点，故函数f(x)＝2x·|log0.5x|－1有2个零点.返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考5.[2013·山东卷]过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长⑤为________．[答案]22[解析]设弦与圆的交点为A，B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝22.返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考6.[2014·天津卷]已知函数f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x0.若函数y＝f(x)－ax恰有4个零点，则实数a的取值范围⑥为______________．[答案](1，2)返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想[解析]在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像相切时，联立－ax＝－x2－5x－4，a0，整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有4个交点时，有1a2.返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想——教师知识必备——知识必备函数与方程思想、数形结合思想函数思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提取数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决函数与方程思想方程思想方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系以形助数根据数与形之间的对应关系，把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题函数与方程思想、数形结合思想数形结合思想以数助形根据数与形之间的对应关系，把形转化为数，通过数的计算、式子的变换等解决数学问题数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越性，要注意培养这种思想意识，做到心中有图、见数想图，以开拓自己的思维视野返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想►考点一函数与方程思想考点考向探究方程思想————列方程求解待定系数函数思想————把问题函数化后使用研究函数的方法解决问题题型：选择、填空、解答分值：5、14分难度：中等热点：数列、解三角形、函数等试题中，多角度、全方位地考查函数与方程思想返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想考点考向探究例1(1)若函数f(x)满足：存在m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f(x＋m)＝f(x)＋f(m)恒成立，则称f(x)为m函数．现给出函数：①y＝1x；②y＝2x；③y＝sinx；④y＝lnx．其中为m函数的是_________．(填序号)(2)已知数列an和bn满足a1a2a3…an＝(2)bn(n∈N*)，若an为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.①求an，bn.②设cn＝1an－1bn(n∈N*)，记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想[解析](1)①若f(x)＝1x，则由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得1x＋m＝1x＋1m，即1m＝1x＋m－1x＝－mx（x＋m），即x2＋mx＋m2＝0，该式对任意x不恒成立，所以不存在常数m使f(x＋m)＝f(x)＋f(m)成立，所以y＝1x不是m函数．②若f(x)＝2x，由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得2(x＋m)＝2x＋2m，此式恒成立，所以y＝2x是m函数．③若f(x)＝sinx，由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得sin(x＋m)＝sinx＋sinm，当m＝π时，f(x＋m)＝f(x)＋f(m)恒成立，所以y＝sinx是m函数．[答案](1)②③返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想④若f(x)＝lnx，则由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得ln(x＋m)＝lnx＋lnm，即ln(x＋m)＝lnmx，所以x＋m＝mx，要使x＋m＝mx成立则有m＝1，m＝0，所以方程无解，所以y＝lnx不是m函数．所以为m函数的是②③.返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想②(i)由①知cn＝12n－1n（1＋n），所以Sn＝12＋122＋…＋12n－1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－12n－1－1n＋1＝1n＋1－12n.(ii)易知Sn的值先增后减，所以只要观察前几项即可得到k，S1＝0，S2＝112，S3＝18，S4＝1180，S5＝1396，故k＝4.返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想[小结]方程思想的本质是根据已知得出方程，通过方程的解解决问题；函数思想的本质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种重要形式．返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想变式题已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM→·PN→的最小值．[解析]解：(1)由题可知Fp2，0，则该直线的方程为y＝x－p2，将其代入y2＝2px(p0)中，得x2－3px＋p24＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.∵MN＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.由(1)可知，x1＋x2＝6，x1x2＝1.设P(m，m＋1)，则PM→＝(x1－m，y1－(m＋1))，PN→＝(x2－m，y2－(m＋1))，∴PM→·PN→＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.又x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，∴y1y2＝－4.又∵y21－y22＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4·x1－x2y1－y2＝4，返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想∴PM→·PN→＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，PM→·PN→取得最小值－14.返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想►考点二数形结合思想数形结合思想—————以形助数探究解题思路，或者直接画图得出结论题型：选择、填空、解答分值：5、14分难度：中等热点：函数、几何中的全方位运用返回目录考点考向探究例2(1)定义在R上的函数f(x)＝1|x－2|（x≠2），1（x＝2），若关于x的方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0(其中m2)有n个不同的实数根x1，x2，…，xn，则1niifx的值为()A．14B．18C．112D．116第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究(2)已知圆P：x2＋y2＝4y及抛物线S：x2＝8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果|AB|，|BC|，|CD|按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为()A．±22B．22C．±2D．2第16讲函数与方程思想、数形结合思想[答案](1)B(2)A返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想[解析](1)方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0的解是f(x)＝1或f(x)＝m－11.在坐标系中画出函数f(x)的图像，以及直线y＝1，y＝m－1(如图所示)．由图像可知函数f(x)的图像与直线y＝1，y＝m－1有五个公共点，即方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0有五个实根．设x1x2x3x4x5，则x1＋x5＝x2＋x4＝4，x3＝2，所以51iix=10，所以51iifx＝f(10)＝18.返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想(2)由题意可知，圆P的圆心坐标为(0，2)，半径为2.抛物线S的焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，画出图像如图所示，其中|BC|＝4.由于|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，所以|AB|＋|CD|＝8，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝12.所求问题等价于当过抛物线S的焦点的直线被抛物线所截得的线段的长度为12时，求直线的斜率．设A(x1，y1)，D(x2，y2)，过A，D分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A′，D′.根据抛物线定义得|AP|＝|AA′|＝y1＋2，|DP|＝|DD′|＝y2＋2，所以|