2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第14讲-导数在函数中的应用

第14讲导数在函数中的应用1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性函数y＝f(x)在(a，b)内可导，则(1)若f′(x)0，则f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若f′(x)0，则f(x)在(a，b)内__________．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，单调递减①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．极小值3．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)①若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；②若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各________与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值1．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()CA．－2B．0C．2D．42．(2013年广州二模)已知e为自然对数的底数，函数y＝)xex的单调递增区间是(A．[－1，＋∞)C．[1，＋∞)B．(－∞，－1]D．(－∞，1]A3．(2013年河南郑州模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2-14-1，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()图2-14-1A．1个B．2个C．3个D．4个4．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．B2考点1函数的单调性与极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．例1：(2014年重庆)已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝12x.解：(1)函数f(x)的定义域为x0.对函数f(x)求导，得f′(x)＝14－ax2－1x.由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝12x知，k＝f′(1)＝－34－a＝－2.∴a＝54.解得x＝－1(舍)或x＝5.当x∈(0,5)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．因此，函数f(x)在x＝5时取得极小值，且极小值为f(5)＝－ln5.(2)由(1)知，f′(x)＝14－54x2－1x＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，即x＋1x－54x2＝0.【规律方法】1求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.2“f′x0[或f′x0]”是“函数fx在某区间上为增函数或减函数”的充分不必要条件；“f′x0＝0”是“函数fx在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件.【互动探究】1．函数f(x)在x＝x0处的导数存在，若命题p：f′(x0)＝0，命题q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的()CA．充分必要条件C．必要不充分条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0；若f′(x0)＝0，而x＝x0不一定是f(x)的极值点，如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．故p是q的必要不充分条件．故选C.考点2函数的最值(1)若f(x)在x＝2处的切线与直线3x－2y＋1＝0平行，求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．例2:(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)=12x2－alnx(a0)．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－ax＝x2－ax.由f(x)在x＝2处的切线与直线3x－2y＋1＝0平行，x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)—0＋f(x)↘12↗令f′(x)＝0，得x＝1.f(x)与f′(x)的情况如下表：所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．则f′(2)＝4－a2＝32，a＝1.此时f(x)＝12x2－lnx，f′(x)＝x2－1x.(2)由f′(x)＝x－ax＝x2－ax.由a0及定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤1，即0a≤1，在(1，e)上，f′(x)0，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝12；②若1ae，即1ae2，在(1，a)上，f′(x)0，f(x)单调递减；在(a，e)上，f′(x)0，f(x)单调递增，因此在[1，e]上，f(x)min＝f(a)＝12a(1－lna)；【规律方法】求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要对函数y＝fx的各极值与端点值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.③若a≥e，即a≥e2，在(1，e)上，f′(x)0，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝12e2－a.综上所述，当0a≤1时，f(x)min＝12；当1ae2时，f(x)min＝12a(1－lna)；当a≥e2时，f(x)min＝12e2－a.【互动探究】2．(2014年江西)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x,其中a0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．解：(1)由题意，得函数的定义域为[0，＋∞)．而f′(x)＝(8x＋4a)x＋4x2＋4ax＋a22x＝20x2＋12ax＋a22x＝10x＋a2x＋a2x.当a＝－4时，f′(x)＝25x－2x－2x.25，20，25x252(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋由f′(x)＝0，得x＝25或x＝2.列表如下：所以函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．(2)由(1)知，f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，所以导函数的零点为x＝－a10和x＝－a2.函数f(x)的单调递增区间为0，－a10和－a2，＋∞；单调递减区间为－a10，－a2.当0－a2≤1，即－2≤a0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)．由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝－2±22，均不合题意；当1－a2≤4，即－8≤a－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不合题意；当－a24，即a－8时，f(x)min＝min{f(1)，f(4)}，由于f(1)≠8，所以f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8.解得a＝－10或a＝－6(舍)．当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8.满足题意．综上所述，a＝－10.考点3利用导数解决函数中的恒成立问题(1)若a＝3，试确定函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在其图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率都小于2a2，求实数a的取值范围．例3：已知函数f(x)＝－13x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R)．解：(1)当a＝3时，f(x)＝－13x3＋x2＋3x＋b，所以f′(x)＝－x2＋2x＋3.由f′(x)0，解得－1x3.由f′(x)0，解得x－1或x3.所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,3)，单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)因为f′(x)＝－x2＋2x＋a，由题意，得f′(x)＝－x2＋2x＋a2a2对任意x∈R恒成立，即－x2＋2x2a2－a对任意x∈R恒成立，设g(x)＝－x2＋2x，所以g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.所以当x＝1时，g(x)有最大值为1.因为对任意x∈R，－x2＋2x2a2－a恒成立，【规律方法】若fx在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2，即f′x＝－x2＋2x＋a2a2对任意x∈R恒成立，分离变量得－x2＋2x2a2－a对任意x∈R恒成立，求－x2＋2x的最大值即可.所以2a2－a1.解得a1或a－12.所以实数a的取值范围为aa1或a－12.【互动探究】3．函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a≠0.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(1)≥e－1，求使f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值(注：e为自然对数的底数)．解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，所以f′(x)＝a2x－2x＋a＝－x－a2x＋ax.当a＞0时，由f′(x)＞0，得0xa.即当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，a)；(2)由f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知，f(x)在[1，e]内单调递增，要使f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要f(e)≤e2，则a2lne－e2＋ae≤e2，即a2＋ae－2e2≤0，(a＋2e)(a－e)≤0，解得a≤e，所以a＝e.当a＜0时，由f′(x)＞0，得0x－a2.即当a0时，f(x)的单调递增区间为0，－a2.●思想与方法●⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2013年广东东莞一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋blnx(x0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＋b＝－2，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)当a＝1，b＝－1时，函数f(x)＝x2＋x－lnx，则f′(x)＝2x＋1－1x.令f′(x)＝0，得x＝－1(舍去)，x＝12.当0x12时，f′(x)0，函数单调递减；当x12时，f′(x)0，函数单调递增．∴f(x)在x＝12处取得极小值34＋ln2.(2)由于a＋b＝－2，则a＝－2－b.从而f(x)＝x2－(2＋b)x＋blnx.则f′(x)＝2x－(2＋b)＋bx＝2x－bx－1x.令f′(x)＝0，得x1＝b2，x2＝1.当b2≤0，即b≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0b21，即0b2时，列表如下：x0，b2b2b2，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的单调递增区间为0，b2，(1，＋∞)，单调递减区间为b2，1；当b2＝1，即b＝2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当b21，即b2时，列表如下：x(0,1)11，b2b2b2，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，b2，＋∞，单调递减区间为1，b2.综上所述，当b≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)