2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第六章-第5讲-不等式的应用

第5讲不等式的应用1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥______(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．如果a，b是正数，那么a＋b2≥______(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2abab3．不等式的推广：21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作H)，几何平均数(记作G)，算术平均数(记作A)，平方平均数(记作Q)，即H≤G≤A≤Q，各不等式中等号成立的条件都是a＝b.4．常用不等式(1)a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．(2)若a＞b＞0，m＞0，则b＋ma＋m＞ba(糖水的浓度问题)．1．若正实数m和n的等差中项为12，则1m＋1n的最小值是()A．2B．4C．6D．8B2．(2013年陕西)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成)A的封闭区域，则2x－y的最小值为(A．－6B．－2C．0D．2解析：如图D20，将点(－2,2)代入2x－y，得最小值为－6.图D203．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________元．4．一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地路线长400千米，为了安全，两辆货车间距至少不得(不计货车长度)．小于v202千米，那么这批物资运到B市，最快需要______小时20008考点1利用不等式进行优化设计例1：出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下边要留1.5cm空白，左、右两侧要留1cm空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？解：设印字部分的矩形宽为x，则高为150x，故纸张宽为x＋2，高为150x＋3，其面积为：S＝(x＋2)150x＋3＝3x＋300x＋156≥23x·300x＋156＝216(cm2)．当且仅当3x＝300x，即x＝10cm时，Smin＝216cm2.故应选用12cm×18cm的纸张．【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题．注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大．【互动探究】1．某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，则最大的种植面积是()DA．218m2B．388m2C．468m2D．648m2解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800.蔬菜的种植面积：S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．∴S≤808－42ab＝648(m2)．当a＝2b，即a＝40m，b＝20m时，S最大值＝648m2.考点2利用规划进行优化设计例2：某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解：设隔出大房间x间，小房间y间，收益为z元，则x，y满足18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x∈N，y∈N，且z＝200x＋150y.约束条件可化简为：6x＋5y≤60，5x＋3y≤40，x∈N，y∈N.可行域为如图D21所示的阴影部分(含边界)．图D21作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置，直线l经过点B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值．解方程组6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得B207，607.由于点B的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的x,y必须都是整数，故可行域内的点B207，607不是最优解．这些整点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,0)．通过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z取得最大值为1800.∴隔出小房间12间，或隔出大房间3间、小房间8间，能获得最大收益．【规律方法】利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：①应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.②用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求使目标函数取得最值的解.③根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.,本题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交点，再代入检验.当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解.【互动探究】2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是()A．12万元C．25万元B．20万元D．27万元答案：D解析：设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，由题意，得3x＋y≤13，2x＋3y≤18，x≥0，y≥0，且获得利润z＝5x＋3y.画出可行域如图D22，由3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得A(3,4)．由图可知，当直线5x＋3y＝z经过点A时，zmax＝27.图D22考点3利用基本不等式处理实际问题例3：某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问该养殖场是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．解：(1)设该养殖场应隔x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)，从而有y1＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417.当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y1有最小值，即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．(2)若养殖场利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．设该养殖场利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x＋303＝3x＋100x＋303(x≥25)，显然y2在[10，＋∞)上是增函数，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390417，∴该养殖场应利用此优惠条件．【规律方法】形如y＝x＋pxp＞0的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制.【互动探究】3．(2013年广东广州一模)某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元，年维修保养费用第一年为3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是()A．8年D．12年B．10年D．15年答案：B解析：汽车使用n年的年平均费用为15＋1.5n＋0.3n＋nn－12×0.3n＝15n＋3n20＋1.65≥215n×3n20＋1.65＝4.65(万元)，当且仅当15n＝3n20，3n2＝300，n2＝100，即n＝10时“＝”成立．故这辆汽车报废的最佳年限为10年．●易错、易混、易漏●⊙利用基本不等式时忽略了等号成立的条件例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图6-5-1)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．图6-5-1(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．正解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为162x米，则总造价f(x)＝400×2x＋2×162x＋248×2x＋80×162＝1296x＋1296×100x＋12960＝1296x＋100x＋12960≥1296×2x·100x＋12960＝38880(元)．当且仅当x＝100x(x＞0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时，使总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件，知0＜x≤16，0＜162x≤16，∴1018≤x≤16.设g(x)＝x＋100x1018≤x≤16.g(x)在1018，16上是增函数，∴当x＝1018时(此时162x＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值．1296×1018＋80081＋12960＝38882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，使总造价最低，最低总造价为38882元．值，首先考虑利用均值不等式，利用均值不等式时要注意等号成立的条件及题目的限制条件；如果均值不等式中等号不能成立，则考虑利用“对勾”函数的单调性{在区间0，a]上单调递减，在区间[a，＋∞上单调递增}或者利用导数求最值.【失误与防范】对于fx＝x＋axa0型“对勾”函数求最