搜索
第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系1．集合的含义与表示．(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系．(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算．(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或____表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系⊆(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A____B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A____B(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有________个．2n－1(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|________________}，U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．x∈U，且xA②交集的性质：A∩∅＝∅,A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B；③补集的性质：A∪∁UA＝U,A∩∁UA＝∅,∁U(∁UA)＝A，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(4)集合的运算性质．①并集的性质：A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪B＝A⇔B⊆A；)B1．若非空集合A，B满足A⊆B，则(A．∃x0∈A，使得x0BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0AD．∀x∈B，有x∈A2．(2015年广东汕头一模)若集合A＝{x|－2x1}，B＝{x|0x2}，则集合A∩B＝()AA．{x|0x1}C．{x|－2x2}B．{x|－1x1}D．{x|1x2}3．(2013年广东)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()DA．{0}C．{－2,0}B．{0,2}D．{－2,0,2}解析：M＝{0，－2}，N＝{0,2}，M∪N＝{0,2，－2}．故选D.4．(2014年广东)已知集合M＝{2,3,4}，N＝{0,2,3,5}，则M∩N＝()BA．{0,2}C．{3,4}B．{2,3}D．{3,5}解析：M∩N＝{2,3}．故选B.){1,3,5,6}，则∁UA＝(A．{1,3,5,6}C．{2,4,7}B．{2,3,7}D．{2,5,7}解析：依题意，∁UA＝{2,4,7}．故选C.5．(2014年湖北)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝C考点1集合的运算例1：(2013年浙江)设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|x2＋3x－)4≤0}，则(∁RS)∪T＝(A．(－2,1]C．(－∞，1]B．(－∞，－4]D．[1，＋∞)解析：S＝{x|x－2}，∁RS＝(－∞，－2]，T＝{x|－4≤x≤1}＝[－4,1]，(∁RS)∪T＝(－∞，1]．答案：C【规律方法】本题主要考查集合的并集、补集运算，属于容易题.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍.【互动探究】－2x1}，则M∩N＝()BA．(－2,1)C．(1,3)B．(－1,1)D．(－2,3)解析：M∩N＝{x|－1x1}．故选B.1．(2014年新课标Ⅰ)已知集合M＝{x|－1x3}，N＝{x|2．(2015年广东广州一模)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5},N＝{1,2,5},则集合{1,2}可以表示为()A．M∩NB．(∁UM)∩NC．M∩(∁UN)D．(∁UM)∩(∁UN)B考点2集合间的基本关系例2：集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．综上所述，当m≤3时，有B⊆A.需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.解：(1)①当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅.满足B⊆A.②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，(2)∵x∈R,且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，即A∩B＝∅.①若B＝∅，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足条件有：解得m＞4.综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4.m＋1≤2m－1，m＋15，或m＋1≤2m－1，2m－1－2.【规律方法】注意∅的特殊性.空集是任何集合的子集：①当B⊆A时需考虑B＝∅的情形；②当A∩B＝∅时也需考虑B＝∅的情形，如果集合B不是空集，可以利用数轴，既直观又简洁.【互动探究】3．(2013年新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|A．A∩B＝∅C．B⊆AB．A∪B＝RD．A⊆B－5x5}，则()解析：A＝{x|x0，或x2}，B＝{x|－5x5}，A，C，D显然错误．故选B.B4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝m.若m＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A.若m＝m，解得m＝0或m＝1.若m＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A.若m＝1，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立．综上所述，m＝0或m＝3.B考点3与集合有关的新概念问题例3：在如图1-1-1所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝图1-1-12x－x2}，B＝{y|y＝3x，x0}，则A#B＝()A．{x|0x2}B．{x|1x≤2}C．{x|0≤x≤1，或x≥2}D．{x|0≤x≤1，或x2}答案：D解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x0}＝{y|y1}，则A∪B＝{x|x≥0}．A∩B＝{x|1x≤2}．根据新运算，得A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1，或x2}．故选D.【规律方法】(1)注意用描述法给出集合的元素.如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合.(2)根据图形语言知，定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为∁A∪B(A∩B)，所以需要求出A∪B和A∩B，借助数轴求出并集与交集.解题的关键是利用图形语言把新定义的运算转化为原有的普通运算，从而解出.【互动探究】5．(2013年山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()CA．1个B．3个C．5个D．9个解析：∵A＝{0,1,2}，B＝{x－y|x∈A，y∈A}，∴当x＝0，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为0，－1，－2；当x＝1，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为1,0，－1；当x＝2，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为2,1,0.∴B＝{－2，－1,0,1,2}．∴集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．6．(2013年浙江宁波联考)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且xN}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B＝()CA．[0,2)C．(－∞，0]∪(2，＋∞)B．(0,2]D．(－∞，0)∪[2，＋∞)解析：由题意知，集合A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≤2}，所以A－B＝{y|y＞2}，B－A＝{y|y≤0}．所以A⊕B＝(－∞，0]∪(2，＋∞)．故选C.