2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第三章-第7讲-正弦定理和余弦定理

第7讲正弦定理和余弦定理1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理asinA＝bsinB＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．正弦定理可以变形为以下几种形式，以解决不同的三角形问题．csinC(1)a∶b∶c＝__________________；sinA∶sinB∶sinC(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝________；2RsinC，sinB＝________，sinC＝(3)sinA＝ac2R2R.b2Ra2＝______________________；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理可以变形为：cosA=b2＋c2－a22bc,cosB=a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.2．余弦定理b2＋c2－2bccosA3．三角形的面积4．正弦定理和余弦定理的应用(1)在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角或已知两边及一边对角，求其他边或角；②已知三边，求三个角．(2)正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角；②已知两边及一边对角，求其他边或角，其结果可能是一解、两解、无解，应注意区分．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R，r分别是三角形的外接圆、内切圆半径)．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表：1．(2013年北京)在△ABC中，若a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1B72．(2013年上海)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝5，c＝8，B＝60°，则b＝________.解析：b＝a2＋c2－2accosB＝25＋64－2×5×8×12＝49＝7.3．(2014年湖北)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.解析：由正弦定理知，1sinπ6＝3sinB，sinB＝32.又0Bπ，所以B＝π3或2π3.π3或2π34．(2013年上海)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则C＝________.2π3解析：a2＋ab＋b2－c2＝0，a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，即C＝2π3.考点1正弦定理例1：(2014年江西)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A＝()A．－19B.13C．1D.72答案：D【规律方法】正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角；②已知两边及一边对角，求其他边或角.解析：3a＝2b，b＝32a，由正弦定理，得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2×94a2－a2a2＝72.【互动探究】1．(2013年新课标Ⅱ)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2B.3＋1C．23－2D.3－1B解析：bsinB＝csinC⇒212＝c22⇒c＝22，S△ABC＝12bcsinA＝12×2×22×sin105°＝22×6＋24＝3＋1.2．(2013年山东)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1B解析：bsinB＝asinA⇒3sin2A＝1sinA⇒32cosA＝1，cosA＝32，A＝π6，B＝π3，C＝π2，则c＝12＋32＝2.考点2余弦定理例2：(1)(2014年北京)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA＝________.解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，c＝2;因为cosA＝4＋4－12×2×2＝78,所以sinA＝1－cos2A＝1－782＝1564＝158.答案：2158答案：4【规律方法】在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角；②已知三边，求三个角.解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋c＋bc－b4c＝4＋7c－b4c＝－14，化简，得8c－7b＋4＝0，与b＋c＝7联立，解得b＝4.(2)(2012年北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.14【互动探究】3．(2014年福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝________.1解析：由余弦定理，得(3)2＝AB2＋22－2AB×2×cos60°.解得AB＝1.考点3正弦定理与余弦定理的综合应用例3：(2014年浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2A－B2＋4sinAsinB＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．思维点拨:(1)由二倍角的余弦公式把4sin2A－B2+4sinAsinB=2＋2降次，再用两角和的余弦公式求cos(A＋B)，由三角形内角和定理可求得cosC，从而求得角C.(2)根据三角形的面积公式求出边a，再由余弦定理求边c.解：(1)由已知，得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋2.化简，得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝2.∴cos(A＋B)＝－22，∴A＋B＝3π4.又A＋B＋C＝π，∴C＝π4.(2)∵S△ABC＝12absinC＝12a×4×22＝6，∴a＝32.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝18＋16－2×32×4×22＝10.∴c＝10.【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解决这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：①先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系；②再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【互动探究】4．(2014年重庆)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝92sinC，求a和b的值．解：(1)由题意，可知：c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，得sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC.化简，得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理，可知：a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.因为S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9.所以a2－6a＋9＝0.解得a＝3.所以b＝3.●思想与方法●⊙转化与化归思想在解三角形中的应用例题：(2013年陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：方法一:bcosC+ccosB=b×a2＋b2－c22ab＋c×a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a＝asinA，∴sinA＝1，即A＝π2.∴△ABC为直角三角形．故选A.方法二：由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA·sinA.∴sinB＋C＝sinA＝sinA·sinA，∴sinA＝1，即A＝π2.∴△ABC为直角三角形．故选A.答案：A【规律方法】已知条件bcosC＋ccosB＝asinA中既有边，又有角，解决此问题的一般思路有两种：①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解如方法一；②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解如方法二.