2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第三章-第8讲-解三角形应用举例

第8讲解三角形应用举例1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b与c.在有解时只有一解1．解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°求另一角．在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解（续表）2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角[如图3-8-1(1)]．图3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α[如图3-8-1(2)]．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．1．在某次测量中，在A处测得同一方向的点B的仰角为)D60°，点C的俯角为70°，则∠BAC＝(A．10°B．50°C．120°D．130°2．如图3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°,∠CBA＝45°，且AB＝200m．则A，C两点的距离为(图3-8-2A.20063mB．1006mC.10063mD．2002m)A3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A.103mB.1003mC.2030mD.30m图D12解析：如图D12，过炮台顶点A作水平面的垂线，垂足为B.设A处测得船D的俯角为30°，连接BC，BD.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则AB＝BC＝30m.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3AB＝303m.在△BCD中，BC＝30m，BD＝303m，∠CBD=30°,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝900＋2700－2×30×303×32＝900.∴CD＝30m.答案：DA.5海里/时B.53海里/时C.10海里/时D.103海里/时4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速图D13度是()C解析：如图D13,依题意有∠BAC=60°，∠BAD＝75°，故∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝12AC＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．考点1测量距离问题例1：(2014年四川)如图3-8-3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°,此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝()图3-8-3答案：CA．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m解析：气球的高是60m，AC＝120m，AB=60sin75°，在△ABC中，ABsin30°＝BCsin45°，所以BC＝ABsin45°sin30°＝60sin45°sin75°sin30°＝60×226＋24×12＝2403＋1＝120(3－1)．【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【互动探究】1.在相距2km的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为__________km.6解析：由条件知，C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC，即ACsin60°＝2sin45°，解得AC＝6.考点2测量高度问题例2：(2014年新课标Ⅰ)如图3-8-4,为测量山高MN,选择点A和另一座山的山顶C为测量观测点．从点A测得点M的仰角为∠MAN＝60°,点C的仰角为∠CAB＝45°,以及∠MAC＝75°;从点C测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m,则山高MN＝___m.图3-8-4答案：150解析：根据题意，在△ABC中，已知∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，易得AC＝1002；在△AMC中，已知∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，AC＝1002，易得∠AMC＝45°，由正弦定理，得ACsin∠AMC＝AMsin∠MCA，即AM＝100222×32＝1003；在△AMN中，已知∠MAN＝60°，∠MNA＝90°，AM＝1003，易得MN＝150.【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦、余弦定理.【互动探究】2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．201＋33mB．201＋32mC．20(1＋3)mD．30m答案：A解析：如图D14，由题意，得∠BDM＝45°，四边形CBMD为正方形，∵CB＝20m，∴BM＝20m．在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DM·tan30°＝2033(m)．∴AB＝AM＋MB＝2033＋20＝201＋33m.图D14考点3测量角度问题例3：如图3-8-5，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行．若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．图3-8-5解：(1)依题意，得∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.故渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时)．答：渔船甲的速度为14海里/时．【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡度等.由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，即sinα＝AB·sin120°BC＝12×3228＝3314.答：sinα的值为3314.(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28,∠BCA＝α，【互动探究】3．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()BA．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°●难点突破●⊙三角函数在解三角形中的应用例题：(2014年新课标Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②解：(1)由题设及余弦定理，得由①②，得cosC＝12.∴C＝60°.∴BD2＝5＋4×12＝7，即BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.【规律方法】本题与某年北京高考题几乎完全相同，请思考已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解：如图3-8-6，连接BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝12AB×ADsinA＋12BC×CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.∴S＝12(AB×AD＋BC×CD)sinA＝12(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.图3­8­6由余弦定理，在ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB×CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－12.∴A＝120°.∴S＝16sin120°＝83.