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第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合图形)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，其尺寸、线条等不作严格要求)．1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上、下底面是互相平行且全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．注意：(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正棱锥叫做正多面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．2．旋转体的几何特征(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(3)圆台：类似于棱台，圆台可看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．类似于圆锥的形成过程，圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的直线旋转，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体．(4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．3．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图，又称为主视图、左视图、俯视图．(2)三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即______视图和侧视图一样高，正视图和______视图一样长，______视图和俯视图一样宽．正俯侧注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．4．用斜二测画法画水平放置的平面图形(1)步骤：画轴、取点、成图．(2)图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍平行于x′轴且长度保持不变，平行于y轴的线段，在直观图中仍平行于y′轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．(3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的z′轴，图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度保持不变．1．如图8-1-1所示的是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是()D图8-1-12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图8-1-2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()B图8-1-2A．南B．北C．西D．下3．(2013年四川)一个几何体的三视图如图8-1-3，则该几D何体的直观图可以是(AC)BD图8-1-34．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()A考点1空间几何体的结构特征例1：(1)如图8-1-4，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为()图8-1-4A．模块①②⑤C．模块②④⑥B．模块①③⑤D．模块③④⑤解析：本小题主要考查空间想象能力．先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①，则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其他两块．答案：A(2)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体形的4个顶点，这些几何形体是__________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图D28，四边形AA1C1C为矩形；三棱锥B1-A1BC1就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；三棱锥D-A1BC1就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥A1-ABC就是每个面都是直角三角形的四面体．图D28答案：①③④⑤【互动探究】1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(D)A．20条C．12条B．15条D．10条解析：正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5×2＝10(条)．考点2几何体的三视图例2：(1)(2014年新课标Ⅰ)如图8-1-5，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()图8-1-5A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图D29.图D29答案：B答案：D【规律方法】画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的线条为虚线.(2)(2013年湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12D.2解析：正方体的侧视图面积为2，所以侧视图的底边长为2.正视图和侧视图的图形相同，所以面积也为2.【互动探究】2．将正方体(如图8-1-6)截去两个三棱锥，得到如图8-1-7所示的几何体，则该几何体的侧视图为(图8-1-6)图8-1-7解析：画出三视图．如图D30.故选B.图D30答案：B考点3几何体的直观图例3：已知正三角形ABC的边长为，那么aABC的平面直观图A′B′C′的面积为()解析：如图8-1-8(1)(2)所示的实际图形和直观图．图8-1-8A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2答案：D由斜二测画法知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a.在图818(2)中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2.【规律方法】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则.先画出正三角形ABC的平面直观图A′B′C′，再求A′B′C′的高即可.本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶点在y′轴上，长度为原高的一半，但它还不是高夹角为45°，所以新三角形的高是原高的24倍，所以直观图的面积是原三角形面积的24倍.【互动探究】3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()DA.12＋22B．1＋22C．1＋2D．2＋2●易错、易混、易漏●⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误例题：(2013年山西诊断)如图8-1-9，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，正视图是)边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为(图8-1-9答案：B【失误与防范】三视图还原求面积或体积时一定要注意几何体摆放的形式，所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高)．A．4B．23C．22D.3正解：该三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱长为2，底边长为点C到边AB的距离2sinπ3＝3，故其侧视图的面积为23.