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第2讲命题、量词与简单的逻辑联结词1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．4．理解全称量词与存在量词的意义．5．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．命题假命题可以判断真假的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为条件和结论两部分；就其结果的正确与否分为真命题和______．2．四种命题之间的相互关系图1-2-1如图1-2-1，原命题与逆否命题，逆命题与________是等价命题．否命题3．逻辑联结词p∨q4．命题p∧q，p∨q，的真假判断假假pqp∧qp∨q真真真真____真假____真假假真假真真假假假假真命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作________，“非p”记作______．5.全称量词与存在量词及其否定(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定为∃x0∈M，(x0)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，它的否定为∀x∈M，(x)．1．如果命题“p且q”是假命题，“”是真命题，那么()DA．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题D．命题q可以是真命题也可以是假命题2．(2014年福建)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0)C解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则原命题的否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00”．3．对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()BA．所给命题为假B．它的逆否命题为真C．它的逆命题为真D．它的否命题为真4．(2015年广东广州调研)命题“若x0，则x20”的否命题是()CA．“若x0，则x2≤0”B．“若x20，则x0”C．“若x≤0，则x2≤0”D．“若x2≤0，则x≤0”考点1四种命题的关系及真假的判断例1：下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0,则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－10”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，故A错；命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”，故C错；命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然为真命题．故选B.答案：B【规律方法】要理解命题之间的等价性：原命题与其逆否命题等价.逆命题与其否命题等价.当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.【互动探究】1．给出下列命题：①若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；②若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；③若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0；④已知a，b，c是空间中三条不同的直线，若a⊥b且a⊥c，则b∥c.其否命题为真命题的序号是________．(写出所有符合题意的序号)解析：①否命题：若q1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．∵Δ＝22－4q＝4(1－q)0，∴此命题为真命题．②否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数．∵当x＝2，y＝4时，x，y不都是奇数，但x＋y是偶数，∴此命题为假命题．③否命题：若x≠1，且x≠2，则x2－3x＋2≠0，显然为真命题．④逆命题：已知a，b，c是空间中三条不同的直线，若b∥c，则a⊥b，且a⊥c.显然为假命题，∴其否命题为假命题．答案：①③考点2判断全称命题、特称命题的真假例2：下列命题是真命题的是()A．∃x∈R，使得sinxcosx＝35B．∃x∈(－∞，0)，2x1C．∀x∈R，x2x－1D．∀x∈(0，π)，sinxcosx答案：C解析：由sinxcosx＝35，得sin2x＝651，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象知，B，D错误；因为x2－x＋1＝x－122＋340恒成立，所以C正确．【规律方法】(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定特称命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要对集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.【互动探究】2．下列四个命题中，为真命题的是()CA．∀x∈R，x2＋30C．∃x∈Z，使x51B．∀x∈N，x2≥1D．∃x∈Q，x2＝3解析：由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋30”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”为假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x51，所以命题“∃x∈Z，使x51”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题．3．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是__________________________．－22≤a≤22解析：∵“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.考点3命题的否定与否命题例3：(1)(2014年天津)已知命题p：∀x0，总有(x＋1)·ex1，则p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x00，总有(x0＋1)ex0≤1D．∀x0≤0，总有(x0＋1)ex0≤1解析：因为命题p：“∀x，d”的否定为p：“∃x，d”，所以由题意，得p为“∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B.答案：B)(2)命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是(A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案：B解析：x=y＝0是指x＝0，y＝0，其否定为x≠0,或y≠0.故选B.原语句是都是至少有一个至多有一个∀x∈A，使p(x)真∃x0∈M，p(x0)成立否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个∃x0∈A，使p(x0)假∀x∈M，p(x)不成立【规律方法】(1)要特别注意命题的否定与否命题不是同一个概念，否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，命题的否定只是对原命题的结论进行否定．(2)对含有量词的命题进行否定时，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(3)常见命题的否定形式有：【互动探究】4．(2013年广东广州二模,)命题“∃x∈R，x2＋4x＋5≤0”)C的否定是(A．∃x∈R，x2＋4x＋50B．∃x∈R，x2＋4x＋5≤0C．∀x∈R，x2＋4x＋50D．∀x∈R，x2＋4x＋5≤05．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()CA．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析：“都是”的否定为“不都是”，故其逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．●思想与方法●⊙复合命题中的分类讨论例题：(2013年上海金山二模)设命题p：函数f(x)＝32xa是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[a,4]上单调递增．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假．若p真，q假，得32a2；若p假，q真，得52≤a4.综上所述，a的取值范围是32a2或52≤a4.解：由0a－321，得32a52.由f(x)＝(x－2)2－1在[a,4]上单调递增，得2≤a4.【规律方法】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p和q中有且仅有一个为真，应该分“p真q假”和“p假q真”两种情况来讨论．另外，若一个命题为假，则求其参数范围的补集．