连续系统的振动

连续系统的振动2021年3月18日《振动力学》2－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的2021年3月18日《振动力学》3力学模型的组成连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统与离散系统的关系连续系统离散系统简化、离散化自由度n趋向于无穷连续系统与离散系统的区别连续系统离散系统自由度连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。描述系统的变量有限个无穷多个时间t时间t和空间位置(x,y,z)微分方程二阶常微分方程组偏微分方程组方程消去时间变量后代数方程组微分方程的边值问题2021年3月18日《振动力学》4教学内容•一维波动方程•梁的弯曲振动2021年3月18日《振动力学》5（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律说明（2）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提2021年3月18日《振动力学》6一维波动方程•动力学方程•固有频率和模态函数•主振型的正交性•杆的纵向强迫振动连续系统的振动/一维波动方程2021年3月18日《振动力学》7•动力学方程（1）杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积S材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力杆参数：连续系统的振动/一维波动方程2021年3月18日《振动力学》8),(txu杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移微段分析),(txplx0dxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：xudxudxxuu)(横截面上内力：xuESESF达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22连续系统的振动/一维波动方程xdx达朗贝尔惯性力2021年3月18日《振动力学》9),(txu杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：xuESESF达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS杆的纵向强迫振动方程等直杆ES为常数),(1222022txpSxuatu/0Ea弹性纵波沿杆的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程),(txplx0xdx上式左边为惯性力，右边分别为弹性力和外力2021年3月18日《振动力学》10（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系xoy),(txy弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移),(txp单位长度弦上分布的作用力单位长度弦的质量微段受力情况达朗贝尔原理：22()(,)ydxFdxFpxtdxtx弦的横向强迫振动方程AFa0令：xy并考虑到：),(1222022txpxyaty弹性横波的纵向传播速度0ayxFF),(txpxdx),(txyopdx22tydxdxxdxFF连续系统的振动/一维波动方程sin微振达朗贝尔惯性力弦的定义:很细长振动中认为张力不变2021年3月18日《振动力学》11（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Ip材料密度切变模量G),(txp：单位长度杆上分布的外力偶矩杆参数：),(tx为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移截面处的扭矩为T微段dx受力),(txpx0xdxpdxTdxxTT22tdxIpdxIp：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程达朗贝尔惯性力偶2021年3月18日《振动力学》12微段dx受力),(txpx0xdxpdxTdxxTT22tdxIp达朗贝尔原理：pdxTdxxTTtdxIp)(22材料力学：xGITp),(22txpxTtIp),()(22txpxGIxtIpp圆截面杆的扭转振动强迫振动方程等直杆，抗扭转刚度GIp为常数),(1222022txpIxatpGa0剪切弹性波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程2021年3月18日《振动力学》13小结：（1）杆的纵向振动),(1222022txpSxuatu（2）弦的横向振动),(1222022txpxyaty虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程（3）轴的扭转振动),(1222022txpIxatp连续系统的振动/一维波动方程2021年3月18日《振动力学》14•固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：),(1222022txpSxuatu纵向自由振动方程：222022xuatu/0Ea假设杆的各点作同步运动：)()(),(tqxtxuq(t)表示运动规律的时间函数)(x杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅)()()()(20xxatqtq),(txplx0连续系统的振动/杆的纵向振动2021年3月18日《振动力学》15)()()()(''20xxatqtq记：20)()()(0)()(202xaxtqtq)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）,,21cc由杆的边界条件确定与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个i（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动（杆的边界条件确定固有频率）2021年3月18日《振动力学》16第i阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应)2,1(),sin()(),()(itxatxuiiiiiφ系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sin(),(iiiiitatxu连续系统的振动/杆的纵向振动2021年3月18日《振动力学》17几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：0)()0(),0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零)(tq0)0(0)(l0201cossin)(axcaxcx代入模态函数02c0sin0al频率方程无穷多个固有频率：),2,1,0(,0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：lxicxiisin)(),2,1,0(ilx0连续系统的振动/杆的纵向振动2021年3月18日《振动力学》18（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：0),0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu0)0(0)(llxicxiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同),2,1,0(i固有频率：),2,1,0(,0ilaii模态函数：01c0cos0allx0连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程2021年3月18日《振动力学》19（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：0),(xtluES)()(),(tqxtxu0)0(0)(l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：0),0(tu模态函数：,...2,1,)212(ilaii,...2,1),212sin()(ixlicxiilx0连续系统的振动/杆的纵向振动或：,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii频率方程2021年3月18日《振动力学》20左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：0),0(xtuES)()(),(tqxtxu0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：0),(tlu模态函数：lx0连续系统的振动/杆的纵向振动,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii频率方程2021年3月18日《振动力学》21边界条件0)(l0)0(0cos0al模态函数lx0连续系统的振动/杆的纵向振动,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)(l0cos0al频率方程固有频率,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii2021年3月18日《振动力学》22例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接推导系统的频率方程连续系统的振动/杆的纵向振动lx0k2021年3月18日《振动力学》23连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：lx0k0),0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu0201cossin)(axcaxcx0)0(),()(tlxESlk02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程振型函数：xacxii0sin)(2021年3月18日《振动力学》24主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数杆的动力方程：),()(22txpxuESxtuS自由振动：)(22xuESxtuS主振动：)sin()(),(taxtxuSES2)(代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动2021年3月18日《振动力学》25SES2)(杆的简单边界：固定端0)(xx=0或l0)(xES自由端x=0或l设：)(xii)(xjj代入：iiiSES2)(jjjSES2)()(xj乘并沿杆长对x积分：lljiiijdxSdxES002)(利用分部积分：dxESESdxESjllilijij000)()(00杆的任一端上总有或者成立ljliijdxESdxES00)(ljiiljidxSdxES020连续系统的振动/杆的纵向振动2021年3月18日《振动力学》26)(xi乘并沿杆长对x积分：iiiSES2)(jjjSES2)(同理)(xj乘并沿杆长对x积分：lljiiijdxSdxES002)(lljijjidxSdxES002)(ljijljidxSdxES020相减：ljiiljidx