对数函数高三数学第一轮考点复习课件

考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.热点提示1.本节内容主要出现在高考卷中的选择、填空题中，难度为中、低档．2．命题的热点为对数函数的图象、以对数函数为载体的复合函数问题．3．命题的重点是对数式的变形运算、图象与性质的应用，考查单调性、值域(最值)、某些参数范围．4．对数方程，对数不等式在2008年的试卷中也多处出现．5．注重对数形结合思想、分类讨论思想的灵活运用的考查.1．对数的概念(1)对数的定义如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．ax＝N(a0且a≠1)x＝logaNNa(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)常用对数底数为自然对数底数为logaN10elgNlnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0且a≠1)：①loga1＝；②logaa＝；③alogaN＝；④logaaN＝.10NN(2)对数的重要公式：①换底公式：；(3)对数的运算法则：如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(M·N)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④logamMn＝logaM.logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3．对数函数的图象与性质图象a10a1性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x＝1时，y＝0，即过定点()(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为(0，＋∞)R1,0增函数减函数如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数．∴0cd1ab.4．反函数指数函数y＝ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称．y＝xy＝logax1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A.13B.36C.24D.33解析：由条件知log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝8，∴x－12＝24.答案：C2．已知3a＝5b＝A，且1a＋1b＝2，则A的值是()A．15B.15C．±15D．225解析：∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，∴1a＋1b＝logA3＋logA5＝logA15＝2，∴A2＝15，∴A＝15或A＝－15(舍)．答案：B3．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．abcB．cabC．bacD．bca解析：∵x1，∴－1lnx0.令t＝lnx，则－1t0.∴a－b＝t－2t＝－t0.∴ab.c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－1t0，∴0t＋11，－2t－1－1，∴c－a0，∴ca.∴cab.答案：C解析：据题意a1，f(x)为增函数，∴当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥loga2.故要使f(x)1恒成立，只需f(x)min＝loga21，∴1a2.答案：C4．若f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有f(x)1，则实数a的取值范围是()A．(12，1)B．(0，12)∪(1,2)C．(1,2)D．(0，12)∪(2，＋∞)解：log1456＝log356log314＝log37＋log38log32＋log37＝log37＋3log32log32＋log37＝b＋3a1a＋b＝ab＋3ab＋1.5．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.【例1】(1)化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；(2)化简：23＋log0.54；(3)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．思路分析：(1)、(2)为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路．(3)可先求出2m＋n的值，再用公式来求a2m＋n的值．解：(1)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.变式迁移1(1)计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋(lg2)2－2lg2＋1.(2)计算23－log0.54.(3)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值．解：(1)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋(lg2)2－2lg2＋1＝lg2(lg2＋lg5)＋|lg2－1|＝lg2·lg(2×5)＋1－lg2＝1.【例2】(1)函数y＝lgcosx(－π2xπ2)的图象是()(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如右图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11解析：(1)解法一：∵f(－x)＝lgcos(－x)＝lgcosx，而x∈(－π2，π2)，∴f(x)是偶函数．又当x∈[0，π2)时，cosx递减，∴y＝lgcosx递减，∴函数在(－π2，0]上递增，故选A.解法二：∵－π2xπ2，∴0cosx≤1，∴y≤0，即当x∈(－π2，π2)时，均有y≤0.(2)由图象知，函数在R上单调递增．∴a1.又当x＝0时，－1y0，即－1logab0，∴1ab1，∴01ab1，选A.答案：(1)A(2)A题(1)属函数图象的确定问题，应抓住定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等特征；题(2)属识图、用图问题，应观察图象中的特殊点、区域、单调性等特征，将其转化为代数关系式是关键的一步，在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解决问题.变式迁移2(2009·北京高考)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1.故选C.答案：C【例3】(1)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，(12)b＝log12b，(12)c＝log2c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac思路分析：(1)由函数的奇偶性先求出a，再解不等式；(2)看能否通过等式和对数函数的性质确定a，b，c的范围，从而比较a，b，c的大小．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0.∴2＋a＝1.∴a＝－1.从而f(x)＝lg(21－x－1)＝lg1＋x1－x.由f(x)0，得lg1＋x1－x0.∴01＋x1－x1.∴－1x0.(2)易知a0，b0，c0，∴0a12，12b1,1c2.故abc.答案：(1)A(2)A本题要求熟练应用对数函数的性质：当a1，b1或0a1,0b1时，logab0；当a1,0b1或0a1，b1时，logab0.同时熟练应用单调性求解不等式：logab1，logab1等.变式迁移3(1)函数y＝log12(x2－5x＋6)的单调增区间为()A．(52，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，52)D．(－∞，2)(2)设a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn解析：(1)由t＝x2－5x＋6的图象可知，当x∈(－∞，2)时，t0且单调递减．又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，∴函数y＝log12(x2－5x＋6)在(－∞，2)上单调递增．(2)特值法：令a＝2，则a2＋1＝52a＝4a－1＝1.又y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴loga(a2＋1)loga2aloga(a－1)，即mpn.答案：(1)D(2)B【例4】(1)函数y＝x＋1，x0ex，x≥0的反函数是________．(2)若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2解析：(1)由y＝x＋1(x0)，得x＝y－1(y1)；由y＝ex(x≥0)，得x＝lny(y≥1)．因此函数y＝x＋1，x0，ex，x≥0的反函数是y＝x－1，x1，lnx，x≥1.(2)由函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，可知y＝f(x－1)与y＝lnx＋1互为反函数，由y＝lnx＋1⇒lnx＝y－1⇒x＝ey－1⇒x＝e2y－2，所以y＝e2x－2⇒y＝f(x－1)＝e2x－2，故f(x)＝e2x.∴选B.答案：(1)y＝x－1，x1lnx，x≥1(2)B变式迁移4已知函数f(x)＝2x＋3，f－1(x)是它的反函数，且m·n＝16，则f－1(m)＋f－1(n)的值为()A．－2B．1C．4D．10解法一：由y＝2x＋3反解得f－1(x)＝－3＋log2x，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－3＋log2m－3＋log2n＝－6＋log2(m·n)＝－2.解法二：令m＝n＝4，由2x＋3＝4，得x＝－1，∴f－1(4)＝－1，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－2.答案：A1．对数式、对数函数的理解(1)应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键．(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a0，a≠1)互为反函数，可从概念、图象、性质几方面理解它们间的联系与区别．(3)在讨论对数函数的性质时应注意定义域及对数底数的取值范围．(4)画对数函数y＝logax的图象，应抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，(1a，－1)．熟记对数函数y＝lgx，y＝log2x，y＝log12x，y＝log110x在同一坐标系中图象的相对位置，掌握对数函数图象的位置变化与底数大小的关系．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误.2．对数性质的拓展(1)同底数的两个对数值的大小比较例如比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a0且a≠1.①若a1，f(x)0，g(x)0；则logaf(x)logag(x)⇔f(x)g(x)0.②若0a1，f(x)0，g(x)0；则logaf(x)logag(x)⇔0f(x)g(x)．(2)同真数的对数值大小关系如下图：当函数单调递增时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越大，即1ab；当函数单调递减时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越小，即0cd1，也可以看图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大，即0cd1ab.