步步高第三章-3.2

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值数学北（理）第三章导数及其应用基础知识题型分类思想方法练出高分1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于f′(x)＝0的每一个解x0：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习基础知识题型分类思想方法练出高分3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习f(a)f(b)f(a)f(b)基础知识题型分类思想方法练出高分(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的；②将f(x)的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习极值f(a)，f(b)基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345AB基础知识·自主学习C[－3，＋∞)(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型分类·深度剖析函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．思维启迪解析思维升华题型一利用导数研究函数的单调性基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型分类·深度剖析解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，思维启迪解析思维升华题型一利用导数研究函数的单调性即f(x)在R上单调递增，若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型分类·深度剖析(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．思维启迪解析思维升华题型一利用导数研究函数的单调性又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型分类·深度剖析(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．思维启迪解析思维升华题型一利用导数研究函数的单调性基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为________．解析f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，题型分类·深度剖析由a1知，当x2时，f′(x)0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2x2a时，f′(x)0，故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；当x2a时，f′(x)0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当a1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2,2a)基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是____________．解析转化为f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，所以g(x)min＝－1，则b的取值范围是(－∞，－1]．(－∞，－1]基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用导数求函数的极值【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析(1)通过f′(2)的值确定a；思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值(2)解f′(x)＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析解(1)由已知，得x0，f′(x)＝x－(a＋1)＋ax，y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax.①当0a1时，若x∈(0，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值若x∈(a,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值若x∈(1，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋alna，极小值是f(1)＝－12.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值②当a＝1时，f′(x)＝x－12x0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值．③当a1时，若x∈(0,1)，f′(x)0，函数f(x)单调递增；若x∈(1，a)，f′(x)0，函数f(x)单调递减；基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析若x∈(a，＋∞)，f′(x)0，函数f(x)单调递增．思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋alna.综上，当0a1时，f(x)的极大值是－12a2＋alna，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值当a1时，f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋alna.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．题型分类·深度剖析(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．思维启迪解析思维升华题型二利用导数求函数的极值基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.①题型分类·深度剖析(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．(2)若f(x)为R上的单调函数，题型分类·深度剖析则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.所以a的取值范围为{a|0a≤1}．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝