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菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第八节正弦定理、余弦定理的应用举例菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线_______的角叫俯角(如图3－8－1①)．上方下方菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向_________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．顺时针菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图3－8－2)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．仰角、俯角、方位角有什么区别？【提示】三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？【提示】利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教A版教材习题改编)如图3－8－3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.1762海里/时B．346海里时C.1722海里/时D．342海里/时菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN＝68×3222＝346.又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得ACsin60°＝ABsin45°，故AC＝6.【答案】6菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．【解析】如图所示，山的高度MN＝200米，塔高为AB，CN＝MB＝2003，AC＝NC3＝2003·3＝2003.所以塔高AB＝200－2003＝4003(米)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】4003菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．(2013·扬州模拟)如图3－8－4，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，h＝AC·sinA＝120×12＝60(m)．【答案】60菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·宝鸡调研)如图3－8－5所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，【思路点拨】在△BAD中，由正弦定理，求DB→△BCD中，用余弦定理求CD→求时间t菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝3030＝1(小时)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2．利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）某单位在抗震救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图3－8－6)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000，∠BCD＝30°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）根据勾股定理，AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m).菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为340米/秒)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】用|AC|表示|BC|，在△ABC中，根据余弦定理列方程求|AC|，在△ACH中，求|CH|.【尝试解答】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，求该塔的高度．【解】如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h，在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OD＝3·OA＝3h，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）在△OCD中，CD＝10，且∠OCD＝120°，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．因此该塔的高度为10米．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【思路点拨】设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝26×32＝22，得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，得∠BCD＝30°，又CDsin120°＝BCsin30°，即103t3＝6，得t＝610.所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际