二项式定理教案(绝对经典)

第3讲二项式定理基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数）（注意区别于该项的系式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.双基自测1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．102．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．803.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A．9B．8C．7D．64．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．95．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►62()xx的展开式中常数项是；含x2的项的系数是【训练1】1、已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．2、若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．考向二二项式的和与积【例2】►1、在61xx的展开式中，含3x项的系数是2、(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．【训练2】1、5223xx的展开式中3x的系数是_______.2、25()xxy的展开式中，52xy的系数为_______.考向二二项式定理中的赋值【例3】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．【训练3】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【例4】►若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()．A．9B．10C．－9D．－10【训练4】1、46622106,1113-2axaxaxaax则）（）（）（）（2、=【例5】►2727327227127CCCC除以9的余数为。【训练5】设n为奇数，则nnnnnCCC777221除以9的余数为。A组专项训练一、选择题1、181()3xx的展开式中常数项是第（）A．5项B．6项C．7项D．8项2、使得*1Nnxxxn的展开式中含有常数项的最小的n是（）A.4B.5C.6D.73、（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．44、5122xy的展开式中32yx的系数是（）A.20B.5C.5D.205、在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．207C．297D．－2526、若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则n为（）A．4B．5C．6D．77、已知21nxx的展开式的各项系数之和为32，则展开式中x的系数为（）A.5B.40C.20D.108、在二项式1()nxx-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56二、填空题1、设二项式531()xx的展开式中常数项为A，则A＝___________．2、已知5(1)(1)axx的展开式中2x的系数为5，则a________.3、在42()(1)xxx的展开式中，2x项的系数是____________.4、若52345012345(12),xaaxaxaxaxax则a3=.5、8()()xyxy的展开式中27xy的系数为.6、51(2)xx展开式中系数最大的项的系数为．7、4212xx的展开式中6x的系数是_______.第3讲二项式定理基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数）（注意区别于该项的系式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．10答案B解析Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，当r＝2时，T3＝40x2.2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．80答案C解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋292由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A．9B．8C．7D．6答案B解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．9答案B解析Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr由已知条件35C5n＝36C6n即C5n＝3C6nn！5！n－5！＝3n！6！n－6！整理得n＝75．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r＝(－1)rCr21x21－r由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，∴a10＋a11＝C1021－C1121＝0考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►62()xx的展开式中常数项是；含x2的项的系数是【答案】A6,,2,1,0,2236661rxCxxCTrrrrrrr令03r得3r,故展开式中常数项为16023634CT;含x2的项的系数是-12【训练1】1、已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意知10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．2、若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．答案4解析二项式x－ax26展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr6x6－r(－a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C26a＝60，解得a＝4.考向二二项式的和与积【例2】►1、在61xx的展开式中，含3x项的系数是2、(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．1、答案：152、答案2解析(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C03(2x)0·C14(－x)1＋C13(2x)1·C0414(－x)0，其系数为C03·C14(－1)＋C13·2＝－4＋6＝2.对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练2】1、5223xx的展开式中3x的系数是_______.答案：15602、25()xxy的展开式中，52xy的系数为_______.答案：30考向二二项式定理中的赋值【例3】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之