数学4月份月考试题及答案(理科)

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高2007届第二轮复习质量检测试题(2007.4.10)数学(理科)命题段泽文本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50)各题答案必需答在答题卡上。1.已知等差数列}{na中,1,16497aaa,则12a的值是()A.15B.30C.31D.642.设复数),(),,(,)1(212baPRbabiaiiz那么点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是()A.0aB.0aC.0aD.0a4.函数122logsin(2)3yx的一个单调递减区间是()A.(,)612B.(,)126C.(,)63D.25(,)365.若)3,2(),1,(xbxa,那么22||||abab的取值范围是()A.)22,(B.]42,0[C.]42,42[D.),22[6.设,,为互不重合的平面,l,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,则∥;②若,,mnm∥,n∥,则∥;③若∥,,l则l∥;④若,,,lmnl∥,则m∥n.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.设椭圆的中心在原点O,右焦点为F,右准线为l,如果在l上存在点M,使线段OM的垂直平分线经过F,则椭圆的离心率的取值范围是()A.)1,23[B.)1,22[C.)1,22(D.)1,21(8.若随机变量)22(,1,2),,(~2PDEN则且为()A.(2)(2)B.(4)(2)C.(4)(2)D.(4)(0)19.若函数()()yfxxR满足(2)()fxfx,且(1,1]x时()||fxx,则函数()yfx的图象与函数lg||yx的图象的交点个数为()A.16B.18C.20D.无数个10.已知M、N是60111yxyxyx所围成的区域内的不同两点,则||MN的取值范围是()A.(0,2]B.(0,5]C.(0,17]D.[0,17]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分)把答案填写在答题卡相应位置上.11.若椭圆221(0)99xy的离心率为12,则λ等于___________12.)()13(6Raxax的展开式的常数项是-20,则23lim()________nnaaaa13.设离散型随机变量可能的取值为1、2、3、4,()Pkakb(1,2,3,4k),又的数学期望为3E,则ab___________14.设集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}AB,映射,BAf:满足:(1)(0)(1)fff,则这样的映射共有____________个15.已知1()sincosfxxx,记2132()(),()(),......,fxfxfxfx1()(),nnfxfx(,2)nNn,则122007()()......()222fff_________16.已知数列)}({*Nnan满足:*1log(2)()nnannN,定义使123....kaaaa为整数的*()kkN叫“期盼数”,则区间[1,2007]内所有的期盼数的和_________M三、解答题:(本大题共6小题,共76分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.200702280117.(13分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足CbBcacoscos)2((1)求角B的大小;(2)向量m)sin,(cosAA,向量n)sin,(cosAA,求m·n的最小值.18.(13分)已知nS为数列na的前n项和,且2232nnSann,n=1,2,3…(1)求证:数列2nan为等比数列;(2)设cosnnban,求数列nb的前n项和nP;19.(13分)设A、B是两个平面区域,面积分别为AS、BS,且AB,则区域A内的随机点落在区域B内的概率ABSSp.则称这样的概率模型为几何概型.现有两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.求两人能够会面的概率.20.(13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,PA平面ABCD,BC//AD,AB=CD,0120ABC,ABPAAD2,点E,F分别在棱PD,PC上,且满足)1,0(PCPFPDPE.(1)求证:EF//平面ABCD;(2)当21时,求AE与平面PAC所成的角的正切值;(3)是否存在,使平面AEF平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.PABCDEFBAoyxM21.(12分)已知椭圆方程为22128xy,射线2(0)yxx与椭圆的交点为,M过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于BA、两点(异于M).(1)求证:直线AB的斜率ABk为定值;(2)求△AMB面积的最大值。22.(12分)设1x是)()()(22Rxebaxxxfx的一个极值点,(1)求a与b的关系式(用a表示b)并求)(xf的单调区间.(2)是否存在实数m,使得对任意)1,2(a及1,2,21总有1)2()2()1(amff3e恒成立,若存在求出m的范围。若不存在,说明理由.一、选择题:题号12345678910答案ACCACBBDBC二、填空题:11.312.2113.11014.3515.—116.解:*11232312log(2)(),......log3log4......log(2)log(2)nnkkannNaaaakk要使)2(log2k为正整数,可设11*1*()22,()22()122200719()nnnknknnNnnN即令99123410112923410[1,2005]()(22)(22)(22)(22).......(22)2(21)(222.......2)2918212056,2056nnnMknM则区间内所有企盼数的和17.解:(1)由CbBcacoscos)2(得CBBCAcossincos)sinsin2(即ACBBAsin)sin(cossin2又∵),0(A∴0sinA∴21cosB又),0(B故3B(2)∵3B又∵32CA∴)32,0(A,)34,0(2A∴1≤12cosA又∵m·nAAA2cossincos22∴m·n的最小值为118.(Ⅰ)解:2232nnSann,21121312nnSann.11222,212(2)nnnnaananan.2nan是以2为公比的等比数列(Ⅱ)111124,4aSaa,121422a.22,22nnnnanan.当n为偶数时,12313124()()nnnnPbbbbbbbbbb31221223221nn2422222422nn224122122(21)12123nnnnn;当n为奇数时,Pn=12213nn.综上,125,332(21)3nnnnnPnn(为奇数),(为偶数)19.解:设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果,则所有可能结果为:;记两人能够会面为事件A,则事件A的可能结果为:.如图所示,试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD.而事件A所构成区域是正方形内两条直线,所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式,得到:.所以,两人能够会面的概率为.20.解:(1)证://PEPFEFCDPDPC又EFABCD平面,//EFABCD平面(2)//,,BCADABCDABCD是等腰梯形,又00120,60ABCADCBAD设BCa,则22ADPAABa,3ACa222223ACBCaaAD,ACCD又PA平面ABCD,PACD,CD平面PAC又//EFCD,EF平面PAC,EAF是AE与平面PAC所成角.又12u,F是PD的中点,且1122EFCDa又172,3,22aPAaACaAFPC,在AEFRt中,7tan7EFEAFAE.(3)当47u时,平面AEF平面PCD.PA平面ABCD,ACPAABCDAC,平面,在PACRt中,由(2)知,aPCaACaPA73,2,若47u,则aPFPCPF77474FPAAPCPFPAPAPCaaPFPAaaPAPC277742,2727PFAPAC,而AFPCPFAPAC009090,又,PACEF平面则AEFPCFAFEFEFPC平面而,,AEFPCDPCDPC平面平面平面,即47u时,平面AEF平面PCD.21.解(1)∵斜率k存在,不妨设k>0,求出M(1-,2-).直线MA方程为)1(2xky,直线MB方程)1(2xky分别与椭圆方程联立,可解出22444Akkxk,22444Bkkxk∴2)2(BABABABAxxxxkxxyy.∴2ABk.(2)设直线AB方程为mxy2,与2422yx联立,消去y得mxx4820)8(2m.由得-4<m<4,且m≠0,点M到AB的距离为5||md.222m-162528-m-)2m(5AB设△MAB的面积为S.∴4)216(161)16(161||41222222mmdABS.当22m时,得2maxS.22.解(1)xeabxaxxf22/])2([)(由0)1(/f得32ab∴xeaaxxxf22)32()(xxeaxxeaxaxxf222/)3)(1(]3)2([)(令0)(/xf得axx3,121由于1x是)(xf的极值点,故21xx,即4a①当4a时,12xx,故]3,1[a为)(xf的单调增区间;),3[]1,(a、为)(xf的单调减区间。②当4a时,12xx,故]1,3[a为)(xf的单调增区间;),1[]3,(、a为)(xf的单调减区间。(2)由12a得534a,从而知)(xf在]1,2[上单调递减,在]1,1[上单调递增,)(xf的值域为],)2[(])1(),2(max),1([43eeafff假设存在实数m满足题设,依题意有:343[(2)1](2)maeeae恒成立,即01)3(eam恒成立,令1)3()(eamag,则有0)1(0)2(gg,解得emem4)7(21,即em4注:[也可通过分离变量m求解(从略)]故存在实数]4,(em满足题设。

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