全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1.化简cos2π7＋cos4π7＋cos6π7的值为()A.－1B.1C.－12D.122.Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和，且对任意的自然数n都满足SnTn＝7n＋44n＋27，那么a11b11＝()A.43B.74C.32D.78713.直线xcosθ＋y＋m＝0(式中θ是△ABC的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是()A.(－arctan12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan12，π]4.设实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为正常数且a≠b，那么mx＋ny的最大值为()A.a＋b2B.abC.2aba＋bD.a2＋b225.如图，平面α中有△ABC和△A1B1C1分别在直线m的两侧，它们与m无公共点，并且关于m成轴对称，现将α沿m折成一个直二面角，则A，B，C，A1，B1，C1六个点可以确定的平面个数为()A.14B.11C.17D.206.以凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n边形必能被这n个圆面所覆盖，则n的最大值为()A.3B.4C.5D.6二、填空题(共54分)7.已知0＜x＜π2，logsinxcosx与logcosxtanx的首数均为零，尾数和为1，则x＝_________.8.设2000＝n21aaa222，其中a1，a2，……，an是两两不等的非负整数，则a1＋a2＋…＋an＝___________.9.已知不等式a≤34x2－3x＋4≤6的解集为{x|a≤x≤b}，其中0＜a＜b，则b＝AA1B1C1BCmα___________.10.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.11.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.12.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)13.(20分)设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2nx2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.14.(20分)已知满足不等式lg(20－5x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.15.(20分)设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f(2000)|.第二试一、(50分)如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠FDE＝∠A，∠DEF＝∠B，又设△AFE，△BDF和△DEF均为锐角三角形，他们的垂心分别为H1，H2，H3.求证：(1)∠H2DH3＝∠FH1E；(2)△H1H2H3≌△DEF.二、(50分)设C0，C1，C2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C0是单位圆x2＋y2＝1；(2)任取n∈Z且n≥0，圆Cn＋1位于上半平面y≥0内及Cn的上方，与Cn外切并且与双曲线x2－y2＝1相切于两点，Cn的半径记为rn(n∈Z且n≥0)(1)证明：rn∈Z；(2)求rn.三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.ABCDEFH1H2H3全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案第一试一、选择题1.Ccos2π7＋cos4π7＋cos6π7＝61ke61k)]7k2sini7k2(cos[R217k2cos21令z＝cos2π7＋isin2π7，于是z7＝1则上式＝12(z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝……＝－122.Aa11b11＝21a1121b11＝S21T21＝7×21＋44×21＋27＝433.Dθ∈[π3，π)，cosθ∈(－1，12]，则斜率k∈[－12，1)4.B由柯西不等式ab＝(m2＋n2)(x2＋y2)≥(mx＋ny)2，当mx＝ny时取等号，所以mx＋ny≤ab5.B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C3C＋3＝11个6.B注意到：当且仅当∠C≥90°时，△ABC能被以AB为直径的圆覆盖.从而易证n≤4，当n＝4时，正方形满足条件.二、填空题7.arcsin5－12；logsinxcosx＋logcosxtanx＝1logsinxcosx＝12∴sinx＝cos2x∴sin2＋sinx－1＝0∴sinx＝5－12(负值舍去)8.44；2000＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a＝43，b＝410.110；f(－1)＝1＋lgb－(2＋lga)＝－2∴lga＝lgb＋1，而(lga)2－4lgb≤0∴(lgb－1)2≤0∴lgb＝1∴b＝10，a＝10011.4105；过B1作A1B的平行线交AB于E，转化为求B点到平面B1CE的距离.12.{－2，－1，0，2}若x2－x－1＝1，则x＝2，－1若x2－x－1＝－1且x＋2为偶数，得x＝0若x＋2＝0且x2－x－1≠0得x＝－2三、13．令ω＝－12＋32i，则有f⑴＝c0＋c1＋c2＋c4＋c5＋……＋c2n＝3n…………………①f(ω)＝c0＋ωc1＋ω2c2＋c3＋ωc4＋ω2c5＋……＋ω2nc2n＝0…………………②f(ω2)＝c0＋ω2c1＋ωc2＋c3＋ω2c4＋ωc5＋……＋ω4nc2n＝0…………………③①＋②＋③得3(c0＋c3＋c6＋……)＝3n，∴c0＋c3＋c6＋……＝3n－1.②－①得c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……于是c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝c0＋c3＋c6＋……＝3n，14．∵20－5x2＞0，∴|x|≤1，∴x＝－1或0或1x＝－1时，lg15＞lg(a＋1)＋1，∴－1＜a＜12x＝0时，lg20＞lga＋1∴0＜a＜2x＝1时，lg15＞lg(a－1)＋l∴0＜a＜52又因为满足条件的整数x只有一个，∴a的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a＝1，则f(f(b))＝b，∴f(f(x))＝x∴f(f(f2(x)))＝f2(x)∴f(f(f2(a)))＝f2(a)再令a＝f(b)，则f(f2(b)＝bf(b)∴f(f(f2(b)))＝f(bf(b))＝b2.∴f(f(f2(a)))＝a2.∴f2(a)＝a2，∴|f(a)|＝|a|∴f(2000)＝2000第二试一、⑴∵H1为△AEF的垂心，∴∠EH1F＝180°－∠A＝∠B＋∠C∠H2DH3＝180°－∠H2DB－∠H3DC＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B＋∠C∴∠EH1F＝∠H2DH3⑵连结FH2，EH3，则FH2⊥BD，EH3⊥BC∴FH2∥EH3由⑴中所证∠EH1F＋∠EOF＝180°E，D，F，H1四点共圆.同理，E，D，H1，H2四点共圆，H1，D，F，H3四点共圆，E，D，F，H1，H2，H3六点共圆.二圆内接四边形EH2H3F中，EH2∥FH3，∴EF＝H2H3，同理，DE＝H1H3，DF＝H1H2，∴△H1H2H3≌△DEF.二、⑴由对称性可知rn的圆心在y轴上，设rn的方程为x2＋(y－sn)2＝rn2，其中sn＝r0＋2(r1＋r2＋……＋rn－1)＋rn.将x2＝y2＋1代入其中得y2＋1＋y2＋sn2－2ysn－rn2＝0△＝4sn28Sn2＋8rn2－8＝02rn2＝Sn2＋2从而易得rn＝6rn－1－rn－2，∵r0＝1，r1＝3，∴对任意n∈N，有rn∈N(2)由特征根方程可得rn＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r0＝1，r1＝3代入其中，得rn＝12[(3＋22)n＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n，其中n不是3的倍数，于是3n的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d和3d的“数对”，其中d不可被3整除，从而3n的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n，n，12n和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n＋1＞3n，从而3n不可能是“完全数”，得到矛盾.