南通市九校(学科基地)联考数学试卷

2005－2006学年度南通市九校（学科基地）联考数学试卷（南通中学南通一中启东中学海门中学通州中学如东中学栟茶中学如皋中学海安中学）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共10页。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=knkknppC)1(（k=0，1，2，…，n）一组数据nxxx,,,21的方差])()()[(1222212xxxxxxnSn其中x为这组数据的平均值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{BAIA∪(CIB）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为()A．41B．41C．4D．－43．函数)1ln(2xxy，(x∈R)的反函数为()A．)(21xxeey，x∈RB．)(21xxeey，x∈(0，+∞)C．)(21xxeey，x∈RD．)(21xxeey，x∈(0，+∞)4．在坐标平面上，不等式组11||2xyxy所表示的平面区域的面积为()A．22B．38C．322D．25．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：()①若;//,//,//nmnm则②若;,,//mnnm则③若.,//,则mm其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36．已知数列｛an｝中，8079nnan，(n∈N+)，则在数列｛an｝的前50项中最小项和最大项分别是()A．a1，a50B．a1，a8C．a8，a9D．a9，a507．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心8．已知sinx－siny=－32，cosx－cosy=32，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是()A．5142B．－5142C．±5142D．281459．已知点P(m，3)是抛物线y=x2+4x+n上距点A(－2,0)最近一点，则m+n=()A．1B．3C．5D．710．已知双曲线22ax－22by＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为22a（O为原点），则两条渐近线的夹角为()A．30ºB．45ºC．60ºD．90º11．方程12cos3cos2sin3sin22yx所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线12．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A．48B．44C．36D．242005－2006学年度南通市九校（学科基地）联考数学试卷学校选科班级姓名考试号___密封线内不要答题密封线得分评卷人得分评卷人第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第二卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题纸上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号1314151617181920212223结分人复分人得分四、（21分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡相应位置.13．函数1032)(23xxxf的单调递减区间为．14．若不等式|x－4|+|3－x|a的解集是空集，则实数a的取值范围是．15．已知5)1cos(x的展开式中2x的系数与4)45(x的展开式中x3的系数相等，则cos=16．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品．17．正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的26倍，则侧面与底面所成锐二面角等于．18．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，kPBPA||||，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若),(21OBOAOP则动点P的轨迹为椭圆；③方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大小题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（本小题满分12分）得分评卷人得分评卷人已知向量m(sin,cos)和n=(cos,sin2)，∈［π，2π］．(1)求||nm的最大值；(2)当||nm=528时，求cos28的值．20、(本小题满分12分)口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，若是同色的概率为12，求：(1)袋中红色、白色球各是多少？(2)从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？21．(本小题满分14分)如图正方体在ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B1C1，AA1的中点，得分评卷人(1)求证：EF⊥平面GBD；(2)求异面直线AD1与EF所成的角．22．(本小题满分14分)已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab，双曲线22221xyab的两条渐近线为12,ll，过椭圆C的右焦点F的直线1ll,又l与2l交得分评卷人于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B．（１）当1l与2l夹角为060且224ab时，求椭圆C的方程．（２）求FAAP的最大值．23．(本小题满分14分)设xf=cxbxax12(a0)为奇函数，且xfmin=22，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，2)(1nnnaafa，11nnnaab．学校选科班级姓名考试号___密封线内不要答题密封线(1)求f(x)的解析表达式；(2)证明：当n∈N+时，有bnn)31(．九校联考数学参考答案一．选择题：1．D2．B3．A4．B5．C6．C7．D8．B9．C10．D11．C12．B二．填空题：13．(0,1)14．(－∞，1］15．2216．6017．318．③、④三．解答题：19．解：(1)cossin2,cossinmn(2分)22cossin2(cossin)mn=422(cossin)=44cos4=21cos4(4分)∵θ∈［π，2π］，∴49445，∴)4cos(≤1||nmmax=22．(6分)(2)由已知82,5mn,得7cos425(8分)又2cos2cos()1428∴216cos()2825(10分)∵θ∈［π，2π］∴898285，∴4cos285．(12分)20．解：（1）令红色球为x个，则依题意得223622363612xxCCCC,（3分）所以227218350xx得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．（6分）（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，则P（B）=1－－P（A）＝3153361CC＝191204（12分）21．解法一：(1)取BC的中点H，连EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，∵BD⊥EH，∴由三垂线定理，得EF⊥BD；(4分)又∵EF在平面AB1上的射影是B1E，由△BB1E∽△ABG，得B1E⊥BG，∴由三垂线定理，得EF⊥BG，∵BG∩BD=B，∵EF⊥平面GBD．(8分)(2)取C1D1的中点M，连EM，易得EM∥AD1，所以∠EFM就是异面直线AD1与EF所成的角，(11分)∵MF∥BD，∴EF⊥MF在Rt△EFM中，由EM=a2，(a为正方体的棱长)，EF=a22，得∠EFM=30º．即异面直线AD1与EF所成的角为30º．(14分)解法二：(向量法)(1)以AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(2，1，0)，F(1，2，2)，G(2，,0，1)D1(0，0，2)(4分)∵EFDB(2，2，0)·(1，－1，－2)=0，EFBG(0，－2，1)·(1，－1，－2)=0∴EFDB，EFBG，又∵BG∩BD=B，∵EF⊥平面GBD．(8分)(2)1AD=(－2，0，2)，EF=(1，－1，－2)|)2,1,1(||)2,0,2(|)2,1,1()2,0,2(,cos1EFAD=23，即异面直线AD1与EF所成的角为30º．(14分)22．解：（１）22433abba2231ab故2213xy（6分）（２）:()alyxcb联立byxa得2(,)aabpcc（8分）设A分FP的比为，则A2,11aabccc代入22221xyab，整理化简得：2222(2)32ee（12分）2(0,1),223e即FAAP的最大值为21（14分）23．解：由f(x)是奇函数，得b=c=0，(3分)由|f(x)min|=22，得a=2，故f(x)=xx122(6分)(2)2)(1nnnaafa=nnnnnaaaaa2121222，1212121121112222111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaab=211nnaa=2nb(8分)∴nb=21nb=42nb=…=121nb，而b1=31∴nb=12)31(n(10分)当n=1时，b1=31，命题成立，(12分)当n≥2时∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋112111nnnnCCC≥1+11nC=n∴12)31(n＜n)31(，即bn≤n)31(．(14分)注：不讨论n=1的情况扣2分．