辽宁省实验中学2002届高三数学四模试题

辽宁省实验中学2002届第四次模拟考试数学试题参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式l)c'c(21S台侧其中'c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式h)SS'S'S(31V台体其中'S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）函数1xcosy2的最小正周期是（A）2（B）π（C）2π（D）4π（2）若ab0，则下列结论中正确的是（A）不等|b|1|a|1b1a1和都不成立（B）不等式|b|1|a|1a1ba1和都不成立（C）不等式22)a1a()b1a(a1ba1和都不成立（D）不等式22)a1a()b1a(|b|1|a|1和都不成立（3）空间四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，下列四个结论中正确的是（）（A）∠AEF=∠BFE（B）AD⊥BC（C）AB⊥CD（D）EF与AB和CD成角相等（4）将离心率为43的椭圆)0ba(1byax2222绕其左焦点按顺时针方向旋转2，所得新椭圆的一条准线方程是014y3，则新椭圆的另一条准线的方程是（A）014y3（B）023y3（C）050y3（D）032y3（5）将函数)x1lg()x(f的图象沿x轴（A）向右平移一个单位（B）向左平移一个单位（C）向上平移一个单位（D）向下平移一个单位所得图象与函数xlg)x(f的图象关于y轴对称（6）已知复数2-i的辐角主值是θ，则i323的辐角主值是（A）2（B）2（C）23（D）2（7）（理）使2xarcsin)x1arccos(成立的x的取值范围是（A）]21,1[（B）]0,21[（C）]21,0[（D）]1,21[（文）满足21|xtg1xtg1|22且),0[x的角x的取值范围是（A）)32,3(（B）]32,3[（C）]32,2(Y)2,3[（D）]65,32[Y]3,6[（8）在52)2x3x4(的展开式中x的系数是（A）160（B）240（C）360（D）800（9）某商店卖A、B两件价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商店盈利情况是（A）多赚5.92元（B）少赚5.92元（C）多赚28.92元（D）盈利相同（10）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为)25(，则旋转体的体积为（A）2（B）37（C）324（D）325（11）nS表示一个公比)Rq(1q的等比数列的前n项和，记}SSlimx|x{Mn2nn，那么集合M的子集个数是（A）2个（B）4个（C）7个（D）8个（12）设二次函数)Rx)(x(f满足)x1(f)x1(f，且其图象开口向上，若)cos(sinfr)32tg(fq)10(fp2lg21，，（其中]2,0[），则p、q、r的大小关系是（A）pqr（B）qpr（C）qr≥p（D）qp≥r二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）已知函数)5axx3(logy221在)1[，上是减函数，则实数a的取值范围是_________________。（14）某同学从6门课中选学2门，其中有两门课上课时间有冲突，另外有两门课不允许同时选学，则可选学的方法总数有___________种。（15）方程099x)22(logx2的两个解的和是_________________。（16）设)2,2(P)2,2(P21，，M是双曲线x1y上位于第一象限的点，给出3个命题：①22|MP||MP|12；②以线段1MP为直径的圆与圆2yx22相切；③存在常数b，使M到直线bxy的距离等于|MP|221；其中正确命题的序号是____________。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在△ABC中，三内角A、B、C满足CcosAsinCsinBsinBcosAsin，若2ABCcm6S，且三边满足0cb2a。求三边a、b、c的长度。（18）（本小题满分12分）已知16x6x)1x(f2)1x(f38x8x2)1x(f)1x(f22，，且)x(f21)1x(f00、、是一个递增的等差数列}a{n的前三项。求数列}a{n的通项公式及26852a...aaa的值。（19）（本小题满分12分）在三棱台ABCCBA111中，已知AA1面ABC，BCBBaCBBAAA111111，，且BB1和底面ABC成的角是45°，//AA1面ACEABDEDCB11，，。（Ⅰ）求证：BC⊥面BABA11；（Ⅱ）求异面直线DA1与1BC所成角的正切值；（Ⅲ）求多面体ECCDBB11的体积。（20）（本小题满分12分）某电脑公司准备将100台同类型的电脑租给某大学的学生。根据市场调查，如果每台电脑每月租金不高于100元，可全部租出；如果每台电脑每月租金高出100元，那么每提高10元将有5台电脑闲置。为了提高公司的经济效益，该公司需要拟定一个最佳月租价格，这个价格必须满足：①为了便于核算，月租价定为10元的整数倍；②由于公司的开支（如员工工资，水电费等）每月需要6250元，电脑出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好。（Ⅰ）把该公司的每月净收入y（即收入减支出）表示为每台电脑月租金x元的函数，并求出其定义域；（Ⅱ）求每台电脑的月租金x为多少时，公司的净收入y最大，并求出最大值。（21）（本小题满分13分）已知函数)x1(loga)x1(log)x(f22为奇函数。（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）解关于x的不等式m)x(f1，其中Rm。（22）（本小题满分13分）如图，在△ABC中，ABDO22AC2AB90CAB，，，于O点，OA=OB，DO=2，曲线E经过C，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变。（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（Ⅱ）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M在D，N之间，设DNDM，求λ的取值范围。辽宁省实验中学2002届第四次模拟考试数学试题参考答案一、BBDCBCDBBBBD二、（13）-8a≤-6（14）13（15）-99（16）①②③三、（17）解：由已知得CsinBsin)CcosB(cosAsin由△ABC中)CB(A得)CBsin(Asin……2分有CsinBsin)CcosB)(cosCBsin(得2CBcos2CBsin22CBcos2CBcos22CBcos2CBsin2……4分则有12CBcos22得cos（B+C）=0故2CB得2A……7分由题意得0cb2aacb12bc222……9分解得a=5，b=4，c=3。……12分(18)解：由已知得8x6x)1x(fx2x)1x(f22……2分由)1x(f)x(f1)x(f)1x(f0000，……4分则有0)x(f1)1x(f00，……6分23n21)1n(211an……8分299223...121a...aa2652……12分（19）（1）证明：∵1AA⊥底面ABC，BC底面ABC，∴BCAA1……2分又∵1BB⊥BC，1AA与1BB共面必相交，∴BC⊥平面BABA11……4分（2）∵1AA//平面EDCB11，∴EC//AADB//AA1111，，∵aBAAAAD//BA1111，，∴四边形DABA11是正方形，∵1BB和底面ABC成角为45°，即45BDB1，∴111BB//DAaDBBD，∴11BCB即为DA1与1BC所成的角……6分∴22a2aBBCBBCBtg11111……8分（3）11111111CBAADECBAABCECCDBBVVVaa21)a2a2a21a21(a312222233a21a673a32……12分（20）解：（1）设每台电脑月租金为x（元），当x≤100时，有y=100x-6250，可得100x5.62。这时}100908070{x，，，……3分当x100时，闲置电脑510100x（台）每月收入为x)510100x100(则有6250x150x216250x)510100x100(y2由y0，x100，解得100x250，……6分综上所求函数为：的倍数。为，且，；，，，，10x250x1006250x150x21}100908070{x6250x100y2……8分（2）若x≤100，y={100x-6250增函数，故x=100时，3750ymax，若x100时，当x=150时，5000ymax，……10分故每台电脑月租金为150元，收入最大为5000元……12分（21）解：（1）由0x10x1得f(x)定义域：（-1，1）……2分∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)即)x1(loga)x1(log)x1(loga)x1(log2222得0)x1(log)a1(22∵0)x1(log22∴1+a=0，即a=-1……4分∴x1x1log)x1(log)x1(log)x(f222……6分（2）由x1x1log)x(f2得)Rx(1212)x(fxx1……8分由m)x(f1，得m12)m1(x……①当1m时，由①得1m1……10分∴当1m1时，不等式的解为m1m1logx2。当1m时，不等式无解，当m1时，不等式的解为R，当1m时，①恒成立……12分综上所述：当1m时，不等式无解，当1m1时，不等式的解为}m1m1logx|x{2当1m时，不等式的解为R，……13分（22）解：（1）以AB、OD所在的直线分别x轴、y轴，O为原点建立坐标系。∵22)22(222|CB||CA||PB||PA|22，……4分∴动点的轨迹是椭圆，设其长、短半轴为a、b，半焦距c，则2a，c=1，b=1∴曲线E的方程为11y2x22。……6分（2）设L：y=kx+2代入椭圆方程得1)2kx(2x22，整理得06kx8x)1k2(22设)yx(N)yx(M2211，，，，则1k2k8xx221，1k26xx22106)1k2(4)k8(22即23k2……8分①当L与y轴重合时，31|DN||DM|……9分②当L与y轴不重合时，由23k2，∵21NDMDxxxxxxDNDM，0xx12或0xx12∴0λ1，∴212xxxxxx)xx(122121221。∵)k12(33)1k2(6k64xx)xx(222221221，得31012得131……12分综合①、②得λ取值为1,31……13分