解析几何题怎么解

解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例1已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t(0t1)，以AB为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q的坐标；（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.讲解:通过读图,看出'',BA点的坐标.(1)显然tA1,1',，，‘tB11于是直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001,tttttttttkQT1111201122222)(.由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?例2已知直线l与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得△=0．即.2222mbka①在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(mSkmR令顶点P的坐标为（x，y），由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入①式并整理，得12222ybxa,即为所求顶点P的轨迹方程．方程12222ybxa形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?例3已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.讲解：∵（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),,(),,(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=±7.为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．讲解：（1）设cFFrPFrPF2||,||,||212211,对,21FPF由余弦定理,得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设l的方程为)(cxky………………①椭圆方程为),(),,(,122112222yxByxAbyax由.22e得2222,2cbca.于是椭圆方程可转化为022222cyx………………②将①代入②，消去y得02)(22222ccxkx,整理为x的一元二次方程，得0)1(24)21(22222kcxckxk.则x1、x2是上述方程的两根．且221221122||kkcxx，2212221)1(22||1||kkcxxkAB，AB边上的高,1||2sin||22121kkcFBFFFhckkkkcS21||)211(2221222.2141224412221||122224242422222ckkckkkkckkkc也可这样求解：||||212121yyFFS||||21xxkcii)当k不存在时，把直线cx代入椭圆方程得22221,2||,22ccScABcy由①②知S的最大值为22c由题意得22c=12所以2226bc2122a故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx…………①（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),,(,122112222yxByxAbyax由.22e得：,,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx……②把①代入②并整理得：02)2(222cmcyym于是21,yy是上述方程的两根.||1)()(||122221221yymyyxxAB2)2(441222222mmccmm2)1(2222mmc,AB边上的高212mch,从而222222)2(122122)1(2221||21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当m=0取等号，即.22maxcS由题意知1222c,于是212,26222acb.故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例5已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线02:yxl上.（１）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为11).,(),,(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx∴线段AB的中点坐标为（222222,babbaa）.由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa故椭圆的离心率为22e.（2）由（1）知,cb从而椭圆的右焦点坐标为),0,(bF设)0,(bF关于直线02:yxl的对称点为,02221210),,(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4,4)54()53(,42222020bbbyx故所求的椭圆方程为14822yx.例6已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:（1）由324||AB，可得,31)322(1)2||(||||2222ABMAMP由射影定理，得,3|||,|||||2MQMQMPMB得在Rt△MOQ中，523||||||2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线AB方程是AOBC;0525205252yxyx或（2）连接MB，MQ，设),0,(),,(aQyxP由点M，P，Q在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|||||2MQMPMB即(**),14)2(222ayx把（*）及（**）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例7如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=22。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DNDM，试确定实数的取值范围．讲解:（1）建立平面直角坐标系,如图所示.∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=22)22(22222∴动点P的轨迹是椭圆.x∵.1,1,2cba∴曲线E的方程是1222yx.（2）设直线L的方程为2kxy,代入曲线E的方程2222yx，得068)12(22kxxk设M1（),(),221,1yxNyx,则①②③.126,128,06)12(4)8(2212212kxxkkxxkki)L与y轴重合时，31||||DNDMii)L与y轴不重合时，由①得.232k又∵21xxxxxxDNDMNDMD,∵,012xx或,012xx∴0＜＜1,∴212)(122121221xxxxxxxx.∵)12(332)12(664)(2222122kkkxxxx而,232k∴.8)12(362k∴,316)12(33242k∴316214,31012,.131,3101,21,10∴的取值范围是1,31.值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.例8直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点.（1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.讲解:（1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF.若l⊥x轴，则l的方程为4,2221PxxPx显然.若l不垂直于x轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则.综上可知2214pxx.（2）设dcdpdDcpcC且),2(),,2(22，则CD的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy假设l过F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)((222dcpdc0p02222dcp，0dc.这时l的方程为y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点.而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例9某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？讲解:以直线l为x轴，