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第6章模拟信号的数字传输6.1抽样定理6.2脉冲幅度调制(PAM)6.3脉冲编码调制（PCM）6.4自适应差分脉冲编码调制（ADPCM）6.5增量调制（ΔM）第6章模拟信号的数字传输第6章模拟信号的数字传输目前用的最普遍的波形编码方法有脉冲编码调制(PCM)和增量调制（ΔM）。采用脉码调制的模拟信号的数字传输系统如图6-1所示，首先对模拟信息源发出的模拟信号进行抽样，使其成为一系列离散的抽样值，然后将这些抽样值进行量化并编码，变换成数字信号。这时信号便可用数字通信方式传输。在接收端，则将接收到的数字信号进行译码和低通滤波，恢复原模拟信号。本章在介绍抽样定理和脉冲幅度调制的基础上，重点讨论模拟信号数字化的两种方式，即PCM和ΔM的原理及性能，并简要介绍它们的改进型：差分脉冲编码调制(DPCM)、自适应差分脉冲编码调制(ADPCM)和增量总和调制、数字压扩自适应增量调制的原理。第6章模拟信号的数字传输图6-1模拟信号的数字传输第6章模拟信号的数字传输6.1.1低通抽样定理一个频带限制在(0,fH)赫内的时间连续信号m(t)，如果以Ts≤1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则m(t)将被所得到的抽样值完全确定。此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一角频率ωH以上为零，则m(t)中的全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2fH)秒的均匀抽样序列里。换句话说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。或者说，抽样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于2fH，若抽样速率fs＜2fH，则会产生失真，这种失真叫混叠失真。6.1抽样定理第6章模拟信号的数字传输下面我们从频域角度来证明这个定理。设抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列，它可以表示为nsTnTtt)()(由于δT(t)是周期性函数,它的频谱δT(ω)必然是离散的,不难求得)(2)(snsTnT（6.1-2）（6.1-1）式中，sssTf22抽样过程可看成是m(t)与δT(t)相乘,即抽样后的信号可表示为)()()(ttmtmTs（6.1-3）第6章模拟信号的数字传输根据冲击函数性质，m(t)与δT(t)相乘的结果也是一个冲击序列，其冲击的强度等于m(t)在相应时刻的取值，即样值m(nTs)。因此抽样后信号ms(t)又可表示为nsssnTtnTmtm)()()(（6.1-4）上述关系的时间波形如图6-2(a)、(c)、(e)所示。根据频率卷积定理，式（6.1-3）所表述的抽样后信号的频谱为)(*)(21)(TsMM（6.1-5）式中,M(ω)是低通信号m(t)的频谱,其最高角频率为ωH,如图6-2(b)所示。将式(6.1-2)代入式(6.1-5)有第6章模拟信号的数字传输nsssnMTM)(*)(1)(由冲击卷积性质，上式可写成nsssnMTM)(1)(（6.1-6）如图6-2(f)所示,抽样后信号的频谱Ms(ω)由无限多个间隔为ωs的M(ω)相叠加而成,这意味着抽样后的信号ms(t)包含了信号m(t)的全部信息。如果ωs≥2ωH,即抽样速率Hsff2第6章模拟信号的数字传输也即抽样间隔HsfT21（6.1-7）则在相邻的M(ω)之间没有重叠,而位于n=0的频谱就是信号频谱M(ω)本身。这时,只需在接收端用一个低通滤波器,就能从Ms(ω)中取出M(ω),无失真地恢复原信号。此低通滤波器的特性如图6-2(f)中的虚线所示。第6章模拟信号的数字传输图6–2抽样过程的时间函数及对应频谱图第6章模拟信号的数字传输如果ωs＜2ωH，即抽样间隔Ts＞1/(2fH)，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，如图6-3所示，此时不可能无失真地重建原信号。因此必须要求满足Ts≤1/(2fH)，m(t)才能被ms(t)完全确定，这就证明了抽样定理。显然，是最大允许抽样间隔，它被称为奈奎斯特间隔，相对应的最低抽样速率fs=2fH称为奈奎斯特速率。为加深对抽样定理的理解，我们再从时域角度来证明抽样定理。目的是要找出m(t)与各抽样值的关系，若m(t)能表示成仅仅是抽样值的函数，那么这也就意味着m(t)由抽样值惟一地确定。HsfT21第6章模拟信号的数字传输图6–3混叠现象第6章模拟信号的数字传输频域已证明，将Ms(ω)通过截止频率为ωH的低通滤波器后便可得到M(ω)。显然，滤波器的这种作用等效于用一门函数D2ωH(ω)去乘Ms(ω)。因此，由式（6.1-6）得到将时域卷积定理用于式（6.1-8），有MTDnMTDMsnsssHH11所以HDMTMss(6.1-8))()()()()(tSatmtSatmTtmHsHHss(6.1-9)第6章模拟信号的数字传输图6–4理想抽样与信号恢复第6章模拟信号的数字传输由式（6.1-4）可知抽样后信号所以式中,m(nTs)是m(t)在t=nTs(n=0,±1,±2,…)时刻的样值。nsssnTtnTmtm)()()()]([))()()()()(sHnsHnssnTtSanTmtSanTtnTmtm)()(sin)(sHsHnsnTtnTtnTm（6.1-10）第6章模拟信号的数字传输式(6.1-10)是重建信号的时域表达式,称为内插公式。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号m(t)可以由其样值利用内插公式重建。这等效为将抽样后信号通过一个冲击响应为Sa(ωHt)的理想低通滤波器来重建m(t)。图6-5描述了由式(6.1-10)重建信号的过程。由图可见,以每个样值为峰值画一个Sa函数的波形,则合成的波形就是m(t)。由于Sa函数和抽样后信号的恢复有密切的联系,所以Sa函数又称为抽样函数。第6章模拟信号的数字传输图6–5信号的重建第6章模拟信号的数字传输6.1.2上面讨论和证明了频带限制在(0,fH)的低通型信号的均匀抽样定理。实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率fs≥2fH，对频率限制在fL与fH之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，如图6-6所示。但这样选择fs太高了，它会使0~fL一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么fs到底怎样选择呢？带通信号的抽样定理将回答这个问题。第6章模拟信号的数字传输图6-6带通信号的抽样频谱（fs=2fH）第6章模拟信号的数字传输带通均匀抽样定理：一个带通信号m(t)，其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m，m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t)可完全由其抽样值确定。下面分两种情况加以说明。（1）若最高频率fH为带宽的整数倍，即fH=nB。此时fH/B=n是整数，m=n，所以抽样速率fs=2fH/m=2B。图6-7画出了fH=5B时的频谱图，图中，抽样后信号的频谱Ms(ω)既没有混叠也没有留空隙，而且包含有m(t)的频谱M(ω)图中虚线所框的部分。这样，采用带通滤波器就能无失真恢复原信号，且此时抽样速率（2B）远低于按低通抽样定理时fs=10B的要求。显然，若fs再减小，即fs＜2B时必然会出现混叠失真。第6章模拟信号的数字传输图6–7fH=nB时带通信号的抽样频谱第6章模拟信号的数字传输由此可知：当fH=nB时，能重建原信号m(t)的最小抽样频)1(2)(22nkBnkBnBmffHs(2)若最高频率不为带宽的整数倍,即Bfs2（6.1-11）(6.1-12)10,kkBnBfH此时fH/B=n+k，由定理知，m是一个不超过n+k的最大整数，显然，m=n，所以能恢复出原信号的最小抽样速率为（6.1-13）式中,n是一个不超过fH/B的最大整数,0＜k＜1。第6章模拟信号的数字传输根据式（6.1-13）和关系fH=B+fL画出的曲线如图6-8所示。由图可见，fs在2B~4B范围内取值，当fL》B时，fs趋近于2B。这一点由式（6.1-13）也可以加以说明，当fLB时，n很大，所以不论fH是否为带宽的整数倍，式（6.1-13）可简实际中应用广泛的高频窄带信号就符合这种情况，这是因为fH大而B小，fL当然也大，很容易满足fLB。由于带通信号一般为窄带信号，容易满足fLB，因此带通信号通常可按2B速率抽样。(6.1-14)Bfs2第6章模拟信号的数字传输图6–8fs与fL关系第6章模拟信号的数字传输实际中应用广泛的高频窄带信号就符合这种情况，这是因为fH大而B小，fL当然也大，很容易满足fLB。由于带通信号一般为窄带信号，容易满足fLB，因此带通信号通常可按2B速率抽样。顺便指出，对于一个携带信息的基带信号，可以视为随机基带信号。若该随机基带信号是宽平稳的随机过程，则可以证明：一个宽平稳的随机信号，当其功率谱密度函数限于fH以内时，若以不大于1/(2fH)秒的间隔对它进行均匀抽样，则可得一随机样值序列。如果让该随机样值序列通过一截止频率为fH的低通滤波器，那么其输出信号与原来的宽平稳随机信号的均方差在统计平均意义下为零。也就是说，从统计观点来看，对频带受限的宽平稳随机信号进行抽样，也服从抽样定理。第6章模拟信号的数字传输正弦信号并非是惟一的载波形式，时间上离散的脉冲串，同样可以作为载波。脉冲调制就是以时间上离散的脉冲串作为载波，用模拟基带信号m(t)去控制脉冲串的某参数，使其按m(t)的规律变化的调制方式。通常，按基带信号改变脉冲参量（幅度、宽度和位置）的不同，把脉冲调制又分为脉幅调制(PAM)、脉宽调制(PDM)和脉位调制(PPM)，波形如图6-9所示。虽然这三种信号在时间上都是离散的，但受调参量变化是连续的，因此也都属于模拟信号。限于篇幅，这里仅介绍脉冲振幅调制，因为它是脉冲编码调制的基础。6.2脉冲振幅调制(PAM)第6章模拟信号的数字传输图6-9PAM、PDM、PPM信号波形第6章模拟信号的数字传输脉冲振幅调制(PAM)是脉冲载波的幅度随基带信号变化的一种调制方式。若脉冲载波是冲激脉冲序列，则前面讨论的抽样定理就是脉冲振幅调制的原理。也就是说，按抽样定理进行抽样得到的信号ms(t)就是一个PAM信号。第6章模拟信号的数字传输1.自然抽样的脉冲调幅自然抽样又称曲顶抽样，它是指抽样后的脉冲幅度（顶部）随被抽样信号m(t)变化，或者说保持了m(t)的变化规律。自然抽样的脉冲调幅原理框图如图6-10所示。设模拟基带信号m(t)的波形及频谱如图6-11(a)所示，脉冲载波以s(t)表示，它是宽度为τ，周期为Ts的矩形窄脉冲序列，其中Ts是按抽样定理确定的，这里取Ts=1/(2fH)。s(t)的波形及频谱如图6-11(b)所示，则自然抽样PAM信号ms(t)(波形见图6-11(c))为m(t)与s(t)的乘积，即)()()(tstmtms（6.2-1）第6章模拟信号的数字传输其中,s(t)的频谱表达式为)2()(2)(HnHsnnSaTS（6.2-2）由频域卷积定理知ms(t)的频谱为nHHssnMnSaTASMM)2()()()(21)((6.2-3)第6章模拟信号的数字传输图6–10自然抽样的PAM原理框图第6章模拟信号的数字传输图6-11自然抽样的PAM波形及频谱第6章模拟信号的数字传输比较式（6.1-6）和式（6.2-3），发现它们的不同之处是:理想抽样的频谱被常数1/Ts加权，因而信号带宽为无穷大；自然抽样频谱的包络按Sa函数随频率增高而下降，因而带宽是有限的，且带宽与脉宽τ有关。τ越大，带宽越小，这有利于信号的传输，但τ大会导致时分复用的路数减小，显然τ的大小要兼顾带宽和复用路数这两个互相矛盾的要求。其频谱如图6-11(d