函数与最值

专题二函数与最值（含导数）一、新题型内核表解主干知识点知能转化点(1)基本初等函数的图像及其性质（指、对数函数的定义域、单调性、奇偶性及反函数等）(2)指、对数的运算及性质(3)函数与其它数学单元的综合问题及其应用(4)两个函数的和、差、积、商及其复合函数的导数；基本导数公式；几种常见函数的导数(5)可导函数在某点取得极值的必要与充分条件(1)能由几何图形性质或物理等学科知识建立函数关系（即建模）；能利用指数函数、对数函数的性质解决简单的实际问题(2)掌握极限思想，会求某些简单函数的导数(3)利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值、图像上某点处的切线等(4)文字语言、符号语言及图形语言的相互转化解题关键点常见障碍点(1)正确理解对数式与指数式的关系，掌握它们的运算(2)牢记基本初等函数的图像与性质，用定义法解题(3)画个图像，以形佐数；改个视角，以数辅形；换个说法，使问题变得直观易理解(4)熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算求导法则和复合函数的求导法则(1)容易忽视“定义域优先”的原则，包括判断函数奇偶性、求复合函数的单调区间、实际问题中变量的范围、对数函数底及对数的限制条件等(2)易混淆图形变换大小与方向(3)误认函数的极大值不小于极小值；误认导数为0的点一定是极值点(4)容易混淆可导与连续的关(5)运用函数思想解决问题系，误为它们等价二、新题型巧解点悟1．图像法【例1】已知函数f(x)=2-x2,g(x)=x．若f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是．【分析】将表达式f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}进行展开，得到分段函数后，画出图像，根据图像得出所求的最大值．【解】y=f(x)*g(x))()(),()()(),(xgxfxgxgxfxf．画出上述函数的图像，如图1，由图易知，图中的最高点A的纵坐标即为所求．解方程组xyxy22，得(x，y)=(1,1)或（-2，-2）．于是所求的最大值为1．【点悟】①解题关键点是准确理解f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}的含义，在此基础上运用所学的知识和已掌握的方法或解题经验灵活解题．②解题规律是分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数的图像，然后观察出它们在各段图像上的最值点，并比较它们最值的大小．③解题易错点：容易误认为所求的最大值是函数f(x)的最大值或g(x)的最大值．xAByo图1【例2】求函数xxy1的值域．【分析】将无理函数转化为有理函数（整式函数）来处理．【解】令t=x1，得x=1-t2，于是y=1-t2-t，这是一个关于t的二次函数，配方得y=-(t+21)2+45，注意到t=x1≥0，故二次函数y=-(t+21)2+45的定义域是),0[，结合二次函数的图像（如图2）可得y≤1，即所求函数的值域是]1,(．【点悟】①解题关键点巧妙换元，准确作出示意图．②解题规律是对于带有根式的无理函数，我们常将其转化为整式函数来加以求解．③解题易错点：容易忽视换元的等价性，从而扩大或缩小未知数的取值范围．事实上，所作换元t=x1，隐含着t的范围为非负实数，从而所得二次函数的定义域y=-(t+21)2+45为),0[，故不能认为函数的值域为]45,(．这时可结合图像观察得正确结论．2．定义法【例3】已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间．【分析】由图像的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解．但这里不能忘了求f(0)【解】当x0时，-x0，故f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2．因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数．于是f(-x)=-f(x)，进而f(x)=-(x2+2x+2)=-x2-2x-2．又当x=0时，f(0)=f(-0)=-f(0)，从而f(0)=0．因此f(x)在（-∞，+∞）上的解析式是0,220,00,22)(22xxxxxxxxf．作出f(x)的图像（如图3），由图即得：增区间是]1,(，),1[，减区间是)0,1[，]1,0(．【点悟】①解题关键点：准确理解奇函数的性质，利用分类的办法表示出所求函数的解析式（即分段函数）．②解题技巧：利用奇偶函数的对称性可简化作图，利用函数图像的直观性可求单调区间．③解题规律：（ⅰ）由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，其基本思想是通过“-x”实现转化；（ⅱ）若x=0在奇函数的定义域内，则必有f(0)=0，即其图像必过原点．④解题易错点：（ⅰ）容易漏求当x=0时的解析式；（ⅱ）两个单调区间之间用符号“∪”连接．【例4】F（x）=)0)(()1221(xxfx是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）A．是奇函数B．是偶函数C．可能是奇函数也可能是偶函数D．既非奇函数也非偶函数【分析】本题主要检测对函数的奇偶性的理解以及灵活的变形能力，可利用函数奇偶性定义直接进行判断．【解】解法一因F（x）=)()1221(xfx=)0)((1212xxfxx，又F(x)是偶函数，即F(-x)=F(x)，于是)(1212xfxx=)(1212xfxx．因1212xx=xx2121，故f(-x)=-f(x))0(x．又f(x)不恒为零，故f(x)是奇函数．所以答案选A．解法二由题设得F(-x)=F(x)，且f(x)=)(1212xFxx)0(x．于是f(-x)=)(1212xFxx=xx2121F(x)=-f(x))0(x．又f(x)不恒为零，故f(x)是奇函数，答案选A．【点悟】①解题关键点：紧扣函数奇偶性的定义，对表达式灵活变形．②解题规律：（ⅰ）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，当定义域不关于原点对称时，函数是非奇非偶函数；（ⅱ）定义域关于原点对称且函数值为零的常数函数一定既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个；（ⅲ）判断f(-x)与f(x)或–f(x)的关系时，可变形研究关系f(-x)+f(x)=0，或f(-x)-f(x)=0，能否成立．③解题易错点：容易忽视对1212xx作进一步变形，从而错误地选择D．【例5】已知函数f(x)=121x+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）求函数f(x)的值域．【分析】（1）利用奇函数的定义，将函数值的关系变形为f(-x)+f(x)=0，进而求出a的值．（2）用定义法证明函数的单调性．（3）利用反函数法求函数的值域．【解】（1）因f(x)是奇函数，故f(x)+f(-x)=(121x+a)+(121x+a)=2a-1=0，于是，2a-1=0，即a=21．（2）)12)(12(22121121)()(21122121xxxxxxxfxf．①若0x1x2，则21221xx，于是1222xx0，0121x，0122x，故0)()(21xfxf，即)()(21xfxf；②若x1x20，则12221xx，于是1222xx0，0121x，0122x，仍有)()(21xfxf．综上，f(x)在（-∞，0）及（0，+∞）上都是减函数．（3）由y=121x+21得：012122yyx，解得21y或21y，即函数值域是),21()21,(．【点悟】①解题关键点：准确理解函数奇偶性及单调性的定义，灵活的数式变形能力，以及良好的自信心．②解题规律：定义法是一种重要的解题方法，应注意应用．③解题技巧：求复合函数y=f(ax)的值域时，如果能从y=f(ax)中反解出ax=f-1(y)，问题即转化为解关于y的不等式f-1(y)0．④解题易错点：误认为函数在整个定义域上是减函数．3．单调性法【例6】甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全部运输成本y（元）表示成v（千米/时）的函数，并指出它的定义域；（2）为使y最小，汽车应以多大速度行驶？【分析】首先读懂题目，弄清题意，明确题中所给各量的含义及它们之间的关系，并由此得出所求函数y=f(v)，再根据y=f(v)的解析式去解第（2）问．【解】（1）依题意y=(bv2+A)vS，v],0(c．化简，得y=S(bv+va)，v],0(c．（2）因bv+va=abvabv2)(2，当且仅当vabv，即bav时，bv+va有最小值ab2．若ba≤c，则当bav（千米/时）时，y=abS2最小．若bac，设0v1v2≤c，考虑函数y=f(v)的单调性．f（v2）-f（v1）=)(1212vavabvbvS=])()([212112vvvvavvbS=)()(212112avbvvvvvS)()(22112abcvvvvS)()(2112ababvvvvS=0因此，y=f(v)是减函数．于是，当v=c（千米/时），y最小．综上可知，当ba≤c时，取bav（千米/时）；当bac（千米/时）时，取v=c，这样可使y最小．【点悟】①解题关键点：对于应用问题，首先读懂题目，理解题意，其次正确看待常数参数a，b，c在解题中的作用，注意比较它们的大小，分情况进行讨论．②解题技巧：运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一．③解题易错点：容易忽略第（2）小问中，分ba≤c与bac两种情况的讨论．④注：本题中的S纯属多余，这完全是为了解题的统一而引进的一个参数．【例7】已知函数f(x)=),1[,22xxaxx．（1）当a=0.5时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意),1[x，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．【分析】（1）这是一个带有定义域的分式函数求最值问题，能否使用算术几何平均值不等式求最值，要视a的取值而定．因为用算术几何平均值求最值的条件是“一正二定三相等”，这里的相等条件能否满足是一个关键．（2）对于带有定义域的函数，经变形化为整式函数后，它恒满足某个条件，能否使用判别式法求参数的取值范围，亦要视具体情况而定．【解】（1）当a=0.5时，f(x)=x+x21+2,),1[x．任设1≤x1x2，则f(x1)-f(x2)=(x1+121x+2)-(x2+221x+2)=2121212)12)((xxxxxx因1≤x1x2，故x1-x20，且x1x21，于是x1x20，2x1x2-10，从而f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在),1[上是增函数，所以f(x)在),1[上的最小值是f(1)=27．（2）因),1[x，于是f(x)0恒成立x2+2x+a0恒成立．又函数y=g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+(a-1)在),1[上是增函数，于是，当x=1时，ymin=3+a．令3+a0得a-3．因此，当a∈（-3，+∞）时，f(x)0恒成立．【点悟】①解题关键点：将不等式恒成立问题转化为函数的最小值恒为正实数．②解题技巧：求函数值域（最值）方法很多，单调性法是重要方法之一．当诸多方法失效时，单调性法往往奏效；另外，函数思想在不等式问题中有着重要应用．若函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则（ⅰ）f(x)a恒成立a∈(M,+∞)；（ⅱ）f(x)a恒成立a∈(-∞,m)；（ⅲ）f(x)a有解a∈(m,+∞)；（ⅳ）f(x)a有解a∈(-∞,M)．③解题易错点：（ⅰ）第（1）小问中，不能用判别式法求最小值．事实上，由y=x+