函数与方程的思想方法

十、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a(a是常数)______。A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论4.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(π2，π)，则tgθ的值是_____。A.－43B.－34C.43D.345.已知等差数列的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p≠q，p、q∈N)，则Spq＝_________。6.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组：例1.设a0，a≠1，试求方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有实数解的k的范围。(89年全国高考)【解】将原方程化为：loga(x－ak)＝logaxa22，等价于xakxakxa022（a0,a≠1）∴k＝xa－()xa21(|xa|1）,设xa＝cscθ，θ∈(－π2,0)∪(0,π2)，则k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|当θ∈(－π2,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctgθ2－1，故k－1；当θ∈(0,π2)时，f(θ)＝…综上，k的取值范围是…【注】引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分离参数法、三角换元法、等价转化思想）【另解】（数形结合法）：【再解】（方程讨论法）：例2.设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),则fxxfxx()()()()()()22121022121022解得x∈（712,312）【注】本题有别于关于x的不等式2x－1m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S120，S130。①.求公差d的取值范围；②.指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)【分析】①问用an、Sn易求；②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】（寻求an0、an10）：例4.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD2＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－4rsin2θx＋4r2sin2θ＝(sin2θ＋1)[x－2122rsinsinθθ]2＋41222rsinsinθθ即当x＝2122rsinsinθθ时，MD取最小值212rsinsinθθ为两异面直线的距离。【注】求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。（见再现性题组第8题）例5.已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋3，又知顶点C的对边c上的高等于43,求△ABC的三边a、b、c及三内角。【解】由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝3(1＋3)设tgA、tgC是方程x2－(3＋3)x＋2＋3＝0的两根，解得x1＝1，x2＝2＋3PMAHBDC设AC，则tgA＝1，tgC＝2＋3，∴A＝π4，C＝512π…例6.若(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。【分析】题设正好是判别式b2－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。【证明】当x＝y时，可得x＝z，∴x、y、z成等差数列；当x≠y时，设方程(x－y)t2－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t1＝t2，并易知t＝1是方程的根。∴t1·t2＝yzxy＝1，即2y＝x＋z，∴x、y、z成等差数列【注】题设条件具备或经变形整理后具备x1＋x2＝a、x1·x2＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b2－4ac≥0或b2－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。例7.△ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤18。【证明】设k＝cosA·cosB·cosC＝12[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝12[－cosC＋cos(A－B)]cosC整理得：cos2C－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。∴△＝cos2(A－B)－8k≥0即8k≤cos2(A－B)≤1∴k≤18即cosA·cosB·cosC≤18【注】既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝…＝－12cos2C＋12cos(A－B)·cosC＝－12[cosC－cos()AB2]2＋18cos2(A－B)≤18cos2(A－B)≤18例8.设f(x)＝lg1243xxa，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。【解】由题可知，不等式1＋2x＋4xa0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(12)2x＋(12)x＋a0设t＝(12)x,则t≥12，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－12∴t2＋t＋a＝0在[12,+∞)上无实根，即g(12)＝(12)2＋12＋a0，得a－34【注】二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法：Ⅲ、巩固性题组：1.方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。A.1B.2C.3D.42.已知函数f(x)＝|2x－1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则_____。A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.2a2cD.2a＋2c23.已知函数f(x)＝loga(x2－4x＋8)，x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。A.12B.14C.2D.44.已知{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，那么limn→∞Sn等于_____。A.8B.16C.32D.485.等差数列{an}中，a4＝84，前n项和为Sn,已知S90，S100，则当n＝______时，Sn最大。6.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。7.若关于x的方程|x2－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x2＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。10.已知lg2ac－4·lgab·lgbc＝0，求证：b是a、c的等比中项。11.设α、β、γ均为锐角，且cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π。12.当p为何值时，曲线y2＝2px(p0)与椭圆14(x―2―p2)2＋y2＝1有四个交点。(88年全国高考)13.已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：①.如果|α|2，|β|2，那么2|a|4＋b且|b|4；②.如果2|a|4＋b且|b|4，那么|α|2，|β|2。（93年全国理）14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2。①.求f(x)在Ik上的解析表达式；②.对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}。（89年全国理）