高考专题复习—圆锥曲线

高考专题复习—圆锥曲线一、高考分析1、分值、题型、难度设置圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。2、命题方向解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。二、专题复习2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。例1．1)如图，在正方体ABCDDCBA111的侧面1AB内有动点P到直线AB与直线11CB距离相等，则动点P所在的曲线的形状为：（）CDBAD1C1B1A1PABA1B1(A)P(B)B1A1BAPB1A1BA(C)PABA1B1(D)P分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。∵11CB⊥面1AB，1PB即为点P到直线11CB的距离，故动点P的轨迹应为过BB1中点的抛溧阳市南渡高级中学高三数学备课组2004-11物线，又点1A显然在此抛物线上，故选C。2)已知F1、F2是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．324B．13C．213D．132.2求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。例2双曲线032yC以为渐近线且过点)2,3(A。（1）求双曲线C的方程；（2）已知动点P与曲线C的两个焦点所连线段长的和为定长，且这两条线段夹角的余弦最小值为91，求动点P的轨迹方程；（3）在x轴正半轴上是否存在一点Q，使得Q与P的轨迹方程上的点的最短距离为1？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由。分析：本题主要考查双曲线、椭圆的方程，基本不等式及二次函数的最值，利用待定系数法可求出指定圆锥曲线的方程。本题把最值问题联系起来，体现了知识的整体性和系统性，既考查基础知识和基本方法，又渗透数学思想，突出对能力的考查，从不同的思维层次上反映能力。（Ⅰ）设双曲线方程为612182332),0(322222kkkyx则，故.123:22yxC（Ⅱ）由题意，P点轨迹以21,FF为焦点的椭圆，设方程为：12222byax，则522ba①记,1mPFnPF2，则anm2，由,121222424cos222222221abmnbmnmnbmncnmPFF知当nm即P为椭圆短轴端点时，21cosPFF有最小值，并且911222ab②，由①，②可得2,3ba，故动点P的轨迹方程为：14922yx。（Ⅲ）设),(),0)(0,(yxPaaQ是以上轨迹上任一点，则14922yx，4295)91(4)()(2222222aaxxxaxyaxPQ，又3,3x，对称轴059ax。(1)若3590a即350a，则当ax59时，,154422minaPQ35215a，不合。(2)若359a，即35a，则当3x时，,1)3(22minaPQ2a或4a。故存在点)0,2(Q或)0,4(Q满足条件。2.3有关直线和圆锥曲线的位置关系问题，主要涉及求参数的值或范围，既考基础，又考能力，突出区分功能，体现思维价值。例3过椭圆C：)0(12222babyax上动点P作⊙O：222byx的两条切线PBPA,，切点为BA,，若直线AB与x轴、y轴分别交于NM,两点；（1）求证：2222ONaOMb为定值；（2）若椭圆C上存在点'P，使得由'P向⊙O所引两条切线互相垂直，求离心率的取值范围。分析：本题主要考查直线与圆的方程，以及离心率的概念，立意新，思维活，在考查基础知识的同时突出对理性思维能力的考查。(1)设)0(1),,(0022022000yxbyaxyxP则易知PBAO,,,四点共圆，并且此圆的方程为00)()(002200yyxxyxyyyxxx即，由于AB为上述圆与已知圆0,200222ybyyxxABbyx令的方程为的公共弦，得02xbOM，令0x得02ybON，故2222022042022202222)1(baaxbxbyabxONaOMb（定值）。注意：本小题切点弦AB的直线方程也可用“设而不求”的方法得出。(2)由题意，四边形ABOP'为正方形，bOAOP22'，从而存在点'P的条件为：以O为圆心、2为半径的圆与椭圆相交，ba2，故1,22)(12abace。例4已知顶点在原点，焦点在Y轴上的抛物线C截直线12xy所得的弦长为102。（1）求抛物线C的方程；（2）过点)41,0(M，且斜率)22,22(k的直线与抛物线C相交与A、B两点，求M分AB所成比的范围。分析本题涉及直线与抛物线的位置关系问题，主要考查一元二次方程与系数关系，两点间距离公式及点M分AB所成的比等基础知识和基本方法，考查综合分析和解决问题的能力，具有较好的思维价值。（1）设ayxC2:，直线与抛物线C交于),(),(2211yxQyxP，由,12,2xyayx得)12(2xax，即,.,2,0221212axxaxxaaxx而2212212)()(yyxxPQ221)(5xx，,40]4)[(521221xxxx即,8442aa解得1a或2a，故yxyxC2:22或。（2）直线,41:kxyAB把它代入yx22得,02122kxx∵),22,22(k,0242k不合。把41kxy代入04122kxxyx得，设),(11yxA，),(22yxB，则.41,,0121212xxkxxk（*）由定比分点公式：0=121xx，,21xx代入（*）的41)1(222xkx，显然,4)1(,022k又21,22222kk，于是,22)1(即,0142故.32322.4重视在导数、向量、函数、不等式等知识交汇点上的命题趋势，既考查相关的知识，又体现知识间的联系和应用，突出对知识的迁移和应用能力的考查。例5已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.若QFMQ2，求直线l的斜率.分析：本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.（I）设所求椭圆方程是).0(12222babyax由已知，得,21,acmc所以mbma3,2.故所求的椭圆方程是1342222mymx（II）设Q（QQyx,），直线),0(),(:kmMmxkyl则点当),,0(),0,(,2kmMmFQFMQ由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222kmmkmmkmmQkmkmymmxQQ解得所以在椭圆上又点kmkmymmxQFMQQQ21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222kmmkmm解得故直线l的斜率是0，62.例6设,)(,02cbxaxxfa曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[，则P到曲线)(xfy对称轴距离的取值范围是（）(A)]1,0[a(B]21,0[a)(C]21,0[a)(D)]21,0[ab分析：本题主要考查导数的求法，倾斜角和斜率的概念，点到直线的距离等知识。∵,2)('baxxf过P点的切线斜率,20baxk由题意：,10k即,1200bax又.2120,00aabxa∵cbxaxxf2)(的对称轴为,2abxP到该对称轴的距离为abxd20]21,0[a，故应选B.例7已知常数0a，向量)0,1(),,0(iac，经过原点O以ic2为方向向量的直线相交于点P，其中R。试问：是否存在两个定点FE,，使得PFPE为定值？若存在，求出FE,的坐标；若不存在，说明理由。分析：本题依托向量把解析几何联系起来，既考查向量的坐标运算，又考查直线与曲线的方程及圆锥曲线的定义和简单的几何性质。解本题的关键是求出P点轨迹方程。∵)0,1(),,0(iac)2,1(aic，直线OA和AP的方程分别为：,2,axayaxy消去参数得P点的轨迹方程为：222)(xaayy，整理得)0(1)2()(81222aaayx（＊）（1）当22a时，方程（＊）表示圆，故不存在满足题意的两定点E和F；（2）当22ao时，方程（＊）表示焦点在2ay上的椭圆，两焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF即为满足题意的两定点；（3）当22a时，方程（＊）表示焦点在y轴上的椭圆，两焦点))21(21,0(2aaE和))21(21,0(2aaF即为满足题意的两定点。例8已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(baccbycxbyaxaexyaea这里得由.所以点M的坐标是（abc2,）.由).,(),(2aeaabeacABAM得即221eaabeacea解得解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是),(00yx，则0000010.22yxceyxcea，2022023,12(1).1exceeaye解得由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e于是32112e奎屯王新敞新疆即当32时，△PF1F2为等腰三角形奎屯王新敞新疆例9．如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yx