高考数学普通高等学校招生全国统一考试58

高考数学普通高等学校招生全国统一考试58第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）若U＝{1,2,3,4},M＝{1,2},N＝{2,3},则Uð（MN）＝（A）{1,2,3}（B）{4}（C）{1,3,4}（D）{2}（2）直线y＝2与直线x+y—2＝0的夹角是（A）4（B）3（C）2（D）43（3）已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列,则2a＝（A）–4（B）–6（C）–8（D）–10（4）已知向量),cos,(sin),4,3(ba且a∥b，则tan＝（A）43（B）43（C）34（D）34（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q点，则Q的坐标为（A）（)23,21（B）（)21,23（C）（)23,21（D）（)21,23（6）曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是（A）y2＝8--4x（B）y2＝4x—8（C）y2＝16--4x（D）y2＝4x—16（7）若32nxx展开式中存在常数项,则n的值可以是（A）8（B）9（C）10（D）12（8）“21sinA”是“A＝30º”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也必要条件（9）若函数)1,0)(1(log)(aaxxfa的定义域和值域都是[0，1]，则a＝（A）31（B）2（C）22（D）2（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α＝（A）3（B）4（C）410arcsin（D）46arcsin（11）椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（2b，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A）1716（B）17174（C）54（D）552（12）若)(xf和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程0)]([xgfx有实数解，则)]([xfg不可能．．．是（A）512xx（B）512xx（C）512x（D）512x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。（13）已知10,()1,0,xfxx则不等式2)(xxxf的解集是。（14）已知平面上三点A、B、C满足||AB＝3,||BC＝4,|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于。（15）已知平面α⊥β，＝l，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为。（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）。三.解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本题满分12分）已知数列na的前n项和为).)(1(31,NnaSSnnn（Ⅰ）求21,aa；（Ⅱ）求证数列na是等比数列。ABCC1B1A1D（18）（本题满分12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA。（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值。（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点。（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；（20）（本题满分12分）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）。假定工厂之间的选择互不影响。（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。（21）（本题满分12分）已知a为实数，))(4()(2axxxf（Ⅰ）求导数)(xf；（Ⅱ）若0)1(f，求)(xf在[--2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(xf在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。ABCDEFM（22）（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且]3,33[k，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当12m时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程。数学（文史类）答案一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分。1.B2.A3.B4.A5.A6.C7.C8.B9.D10.D11D12.B二.填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分）13.1,14.–415.516.5三.解答题17.解:（Ⅰ）由)1(3111aS,得)1(3111aa∴1a21又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.（Ⅱ）当n1时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列.（12分）（18）解:（Ⅰ）ACB2cos2sin2＝)1cos2()]cos(1[212ACB＝)1cos2()cos1(212AA＝)192()311(21＝91（Ⅱ）∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc当且仅当b＝c＝23时,bc＝49,故bc的最大值是49.（19）（满分12分）方法一解:（Ⅰ）记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。（Ⅱ）由（Ⅰ）知AM∥OE，∵BD⊥AC，BD⊥EC，∴BD⊥平面AEC，又OE平面AEC，∴BD⊥OE，连OF，∵AB＝2，AF＝1，∴AC＝2，则OC＝1，∴OE＝2，同理OF＝2而EF＝2，∴△EOF是等腰直角三角形，∴OE⊥OF，而OF平面BDF，∴OE⊥平面BDF，即AM⊥平面BDF.（Ⅲ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，,AAFAD∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，,2,36ABAS∴,60,3tanASBASB∴二面角A—DF—B的大小为60º。方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设ACBDO，连接OE，则点O、E的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,ABCDEFMOABCDEFMOSABCDEFM∴OE＝（)1,22,22,又点A、M的坐标分别是（022，，）、（)1,22,22∴AM＝（)1,22,22∴OE＝AM且NE与AM不共线，∴OE∥AM。又∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。（Ⅱ）∵DB＝)0,2,2(，又点F的坐标为（2，2，1）∴BF＝（2，0，1），∵AM·DB＝（)1,22,22·)0,2,2(＝0AM·BF＝（)1,22,22·（2，0，1）＝0∴AM⊥DB，AM⊥BF，又BF∩DB＝D∴AM⊥平面BDF。（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF,AAD∴AB⊥平面ADF。∴(2,0,0)AB为平面DAF的法向量。∵OE·DB＝（)1,22,22·)0,2,2(＝0，∴OE·NF＝（)1,22,22·)0,2,2(＝0得OE⊥DB，OE⊥NF，∴OE为平面BDF的法向量。xyzABCDEFMO∴cosAB,OE＝21∴AB与OE的夹角是60º。即所求二面角A—DF—B的大小是60º。（20）解:（Ⅰ）设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则16807171)(5AP.（Ⅱ）设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则.24013607345677)(5557ABP因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B,所以.2401204124013601)(1)(BPBP（12分）（21）解:（Ⅰ）由原式得,44)(23axaxxxf∴.423)(2axxxf（Ⅱ）由0)1(f得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或x＝-1,又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(ffff所以f（x）在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.2750（Ⅲ）解法一:423)(2axxxf的图象为开口向上且过点（0,--4）的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(ff即084.048aa∴--2≤a≤2.所以a的取值范围为[--2,2].解法二:令0)(xf即,04232axx由求根公式得:)(3122122,1xxaax所以.423)(2axxxf在1,x和,2x上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,)(xf≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即6122.6122aaaa解不等式组得:--2≤a≤2.∴a的取值范围是[--2,2].（22）（满分14分）解:（Ⅰ）由条件得直线AP的方程),1(xky（),0k即0kykx.又因为点M到直AP的距离为1,所以,112kkmk得221111kkkm.∵],3,33[k∴332≤1m≤2,解得332+1≤m≤3或--1≤m≤1--332.∴m的取值范围是m].3,1332[]3321,1[（Ⅱ）可设双曲线方程为),0(1222bbyx由),0,1(),0,12(AM得2AM.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP＝45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，1,1AQAPkk（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为22x。直线AP的方程y＝x-1,∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入1222byx得，32122b所以所求双曲线方程为,112)32(22yx即.1)122(22yx